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Bibliothèque de Philosoptiie scientifique HENRI POINCARÉ
de l'Institut.
Dernières
Pensées
L'Évolution des Lois. — L'Espace et le Temps
Pourquoi l'Espace a trois dimensions.
La Logique de l'Infini.
Les rapports de la Matière et de l'Éther.
La Morale et la Science, etc.
PARIS
ERNEST FLAMMARION, ÉDITEUR
26, RUE RACINE, 26
Dixième mille
DON
de
M* Amédée Langlois, 175, rue Wilbrod, Ottawa» Ont*
Octobre 1938
Dernières Pensées
Pholo Henri Manuel.
Bibliothèque de Philosopliie scientifique
HENRI POINCARE
DK l'institut
Dernières Pensées
L'Évolution des Lois. — L'Espace et le Temps.
Pourquoi l'Espace a trois dimensions.
La Logique de llnfîni.
Les rapports de la Matière et de l'Éther.
La Morale et la Science, etc.
PARIS
ERNEST FLAxMMARIOX, ÉDITEUR
26, RUE RACINE, 26
1917
Tous droils de tradutiion, d'aJaptalion ei de leproJuction réservés pour tous les pays.
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Droits de traduction ot de reproduction réservés pour tous les pays.
Copyright 1913, b\ Ernest Flammarion
AVERTISSEMENT
Sous ce titre Dernières pensées, nous réunissons ici divers articles et conférences que M. Henri Poincaré destinait lui-même à former le quatrième volume de ses ouvrages de philosophie scientifique. Tou3 les précédents avaient déjà paru dans cette collection.
Il serait inutile de rappeler leur prodigieux succès. Le plus illustre des mathématiciens mo- dernes s'y est révélé éminent philosophe, un de ceux dont les livres influencent profondément la pensée humaine.
Il est probable que si Henri Poincaré lui-même avait publié ce volume, il eût modifié certains détails, fait disparaître quelques répétitions. Mais il nous a paru que le respect dû à la mémoire de ce grand mort interdisait aucune retouche à son texte.
t
a AVERTISSEMENT
Il nous a paru également inutile de faire pré- céder ce volume d'aucune étude surl'œuvre de Henri Poincaré. Elle a été jugée par tous les savants et aucun commentaire ne pourrait augmenter la gloire de ce puissant génie.
G. L. B
:hapitre I
L'EVOLUTION DES LOIS
DERNIÈRES PENSÉES
CHAPITRE I L'ÉVOLUTION DES LOIS
M. Boutroux, dans ses travaux sur la contingence des lois de la nature, s'est demandé si les lois natu- relles ne sont pas susceptibles de changer, si alors que le monde évolue continuellement, les lois elles- mêmes, c'est-à-dire les règles suivant lesquelles se fait cette évolution, seront seules exemptes de toute variation. Une pareille conception n'a aucune chance d'être jamais adoptée par les savants; au sens où ils l'entendraient, ils ne sauraient y adhérer sans nier la légitimité et la possibilité même de la Science. Mais le philosophe conserve le droit de se poser la question, d'envisager les diverses solutions qu'elle comporte, d'en examiner les conséquences, et de chercher à les concilier avec les légitimes exi- gences des savants. Je voudrais considérer quel- ques-uns des aspects que le problème peut revêtir ;
1.
6
DERNIERES PENSEES
je serai ainsi amené non à des conclusions propre- ment dites, mais à diverses réflexions qui ne seront peut-être pas dénuées d'intérêt. Si, chemin faisant, je me laisse aller à parler un peu longuement de certaines questions connexes, on voudra bien me le pardonner.
Plaçons-nous d'abord au point de vue du mathé- maticien. Admettons pour un instant que les lois physiques aient subi des variations dans le cours des âges, et demandons-nous si nous aurions un moyen de nous en apercevoir. N'oublions pas d'abord que les quelques siècles pendant lesquels l'huma- nité a vécu et pensé, ont été précédés de périodes incomparablement plus longues où l'homme ne vivait pas encore ; ils seront sans doute suivis d'autres périodes où notre espèce aura disparu. Si l'on veut croire à une évolution des lois, elle ne peut sans contredit être que très lente, de sorte que, pendant le peu d'années où l'on a pensé, les lois de la nature n'ont pu subir que des changements insignifiants. Si elles ont évolué dans le passé, il faut comprendre par là le passé géologique. Les lois d'autrefois étaient-elles celles d'aujourd'hui, les lois de demam seront-elles encore les mêmes ^
L EVOLUTION DES LOIS I
Quand on pose une pareille question, quel sens doit-on attacher aux mots autrefois, aujourd'hui et demain? aujourd'hui ce sont les temps dont l'histoire a conservé le souvenir ; autrefois ce sont les millions d'années qui ont précédé l'histoire et où les ichthyo- saures vivaient tranquillement sans philosopher; demain, ce sont les millions d'années qui viendront ensuite, où la Terre sera refroidie et où l'homme n'aura plus d'yeux pour voir ni de cerveau pour penser.
Cela posé, qu'est-ce qu'une loi? C'est un lien constant entre l'antécédent et le conséquent, entre l'état actuel du monde et son état immédiatement postérieur. Connaissant l'état actuel de chaque partie de l'univers, le savant idéal qui connaîtrait toutes les lois de la nature posséderait des règles fixes pour en déduire l'état que ces mêmes parties auront le lendemain ; on conçoit que ce processus puisse être poursuivi indéfiniment. De l'état du monde du lundi, on déduira celui du mardi ; con- naissant celui du mardi, on en déduira par les mêmes procédés celui du mercredi ; et ainsi de suite. Mais ce n'est pas tout; s'il y a un lien cons- tant entre l'état du lundi et celui du mardi, on pourra déduire le second du premier, mais on pourra faire l'inverse, c'est-à-dire que si l'on con- naît l'état du mardi, on pourra conclure à celui du lundi ; de l'état du lundi on conclura de même à
8 DERNIÈRES PENSÉES
celui du dimanche, et ainsi de suite ; on peut remonter le cours des temps de même qu'on peut le descendre. Avec le présent et les lois, on peut deviner l'avenir, mais on peut également deviner le passé. Le processus est essentiellement réversible.
Puisque nous nous plaçons ici au point de vue du mathématicien, il convient de donner à cette conception toute la précision qu'elle comporte, dût-on pour cela employer le langage mathéma- tique. Nous dirons alors que l'ensemble des lois équivaut à un système d'équations différentielles qui lient les vitesses de variations des divers élé- ments de l'univers aux valeurs actuelles de ces éléments.
Un pareil système comporte, comme on le sait, une infinité de solutions ; mais si nous nous donnons les valeurs initiales de tous les éléments, c'est-à-dire leurs valeurs à l'instant t^O, (celui que dans le langage ordinaire nous appelons le présent) la solution se trouve entièrement déterminée, de sorte que nous pouvons calculer les valeurs de tous les éléments à une époque quelconque, soit que nous supposions t >0, ce qui correspond à l'ave- nir, soit que nous supposions t<0, ce qui corres- pond au passé. Ce qu'il importe de se rappeler, c'est que la façon de conclure du présent au passé ne diffère pas de la façon de conclure du présent à l'avenir.
l'évolution des lois 9
Quel moyen avons-nous alors de connaître le passé géologique, c'est-à-dire l'histoire des temps où les lois auraient pu autrefois varier? Ce passé n'a pu être directement observé et nous ne le con- naissons que par les traces qu'il a laissées dans le présent, nous ne le connaissons que parle présent, et nous ne pouvons l'en déduire que par le pro- cessus que nous venons de décrire, et qui nous permettrait également d'en déduire l'avenir. Or, ce processus est-il capable de nous révéler des chan- gements dans les lois? Évidemment non; nous ne pouvons précisément l'appliquer qu'en supposant que les lois n'ont pas changé ; nous ne connaissons directement que l'état du lundi par exemple, et les règles qui lient l'état du dimanche à celui du lundi ; l'application de ces règles nous fera alors connaître l'état du dimanche ; mais si nous voulons pousser plus loin et en déduire l'état du samedi, il faut de toute nécessité que nous admettions que les mêmes règles qui nous ont permis de remonter du lundi au dimanche, étaient encore valables entre le dimanche et le samedi. Sans cela, la seule conclusion qui nous serait permise, c'est qu'il est impossible de savoir ce qui s'est passé le samedi. Si alors l'immutabilité des lois figure dans les prémisses de tous nos raisonnements, nous ne pouvons pas ne pas la trouver dans nos eonclusions.
10 DERNIÈRES PENSÉES
Un Leverrier, connaissant les orbites actuelles •des planètes, calcule, en se servant de la loi de Newton, ce que seront devenues ces orbites dans 10.000 ans. De quelque manière qu'il dirige ses «aïeuls, il ne pourra jamais trouver que la loi de Newton sera fausse dans quelques milliers d'années.
11 aurait pu, en changeant tout simplement le signe du temps dans ses formules, calculer ce qu'étaient €es orbites il y a 10.000 ans ; mais il est sûr d'avance de ne pas trouver que la loi de Newton n'a pas été toujours vraie.
En résumé, nous ne pouvons rien savoir du passé qu'à la condition d'admettre que les lois n'ont pas changé ; si nous l'admettons, la question de l'évo- lution des lois ne se pose pas ; si nous ne l'admet- tons pas, la question est insoluble, de même que toutes celles qui se rapportent au passé.
II
Mais, dira-t-on, ne pourrait-il se faire que l'appli- ■cation du processus précédent conduisit à une con- tradiction, ou, si l'on veut, que nos équations difTérentielles n'admissent aucune solution? Puisque l'hypothèse de l'immutabililé des lois, posée au début de tous nos raisonnements, conduirait à une consé- quence absurde, nous aurions démontré per absur^
L EVOLUTION DES LOIS
a
dum qu'elles ont évolué, tout en étant à tout jamais impuissants à savoir dans quel sens.
Comme notre processus est réversible, ce que nous venons de dire s'applique à l'avenir, et il semble qu'il y ait des cas où nous pourrions affir- mer qu'avant telle date le monde doit périr ou changer ses lois ; si par exemple le calcul nous montre qu'à cette date, l'une des quantités que nous avons à envisager doit devenir infinie, ou prendre une valeur physiquement impossible. Périr, ou changer ses lois, c'est à peu près la même chose ; un monde qui n'aurait plus les lois du nôtre, ce ne serait plus notre monde, c'en serait un autre.
Est-il possible que l'étude du monde actuel et de ses lois nous conduise à des formules exposées à de semblables contradictions ? Les lois sont obte- nues par l'expérience ; si elles nous enseignent que l'état A du dimanche entraîne l'état B du lundi, c'est qu'on a observé les deux états A et B ; c'est donc qu'aucun de ces deux états n'est physiquement impossible. Si nous poursuivons le processus, et si nous concluons en passant chaque fois d'un jour au jour suivant, de l'état A à l'état B, puis de l'état B à l'état C, puis de l'état C à l'état D, etc., c'est que tous ces états sont physiquement possibles ; car si l'état D par exemple ne l'était pas, on n'aurait jamais pu faire d'expérience prouvant que l'état G
12
DERNIERES PENSEES
engendre au bout d'un jour l'état D. Quelque loin que les déductions soient poussées, on n'arrivera donc jamais à un état physiquement impossible, c'est-à-dire à une contradiction. Si une de nos for- mules n'en était pas exempte, c'est qu'on aurait dépassé l'expérience, c'est qu'on aurait extrapolé. Supposons par exemple qu'on ait observé que dans telle ou telle circonstance la température d'un corps baisse d'un degré par jour ; si elle est actuellement de 20° par exemple, on conclura que dans 300 jours, elle sera de — 280°; et cela sera absurde, physique- ment impossible, puisque le zéro absolu est à — 273°. Qu'est-ce à dire ? Avait-on observé que la température passait en un jour de — 279° à — 280°? Non, sans doute, puisque ces deux températures sont inobservables. On avait vu par exemple que la loi était vraie à très peu près entre 0° et 20°, et on en avait abusivement conclu qu'elle devait l'être encore jusqu'à — 273° et même au delà; on avait fait une extrapolation illégitime. Mais il y a une infinité de manières d'extrapoler une formule empi- rique, et parmi elles on peut toujours en choisir une qui exclue les états physiquement impos- sibles.
Nous ne connaissons les lois qu'imparfaitement ; l'expérience ne fait que limiter notre choix, et parmi toutes les lois qu'elle nous permet de choisir, on en trouvera toujours qui ne nous exposent pas
l'évolution des lois 13
à une contradiction du genre de celles dont nous venons de parler et qui pourraient nous obliger à conclure contre l'immutabilité. Ce moyen de démon- trer une pareille évolution nous écbappe encore, qu'il s'agisse d'ailleurs de démontrer que les lois changeront, ou qu'elles ont changé.
III
Arrivés à ce point, on peut nous opposer un argument de fait. « Vous dites qu'en cherchant à remonter, grâce à la connaissance des lois, du présent au passé, on ne se heurtera jamais à une contradiction, et cependant les savants en ont ren- contré, dont il ne semble pas qu'on puisse se tirer aussi facilement que vous le pensez. Qu'elles ne soient qu'apparentes, qu'on puisse conserver l'es- poir de les lever, je vous l'accorde ; mais d'après votre raisonnement, une contradiction même appa- rente devrait être impossible ».
Citons tout de suite un exemple. Si l'on calcule d'après les lois de la thermodynamique, le temps depuis lequel le Soleil a pu nous verser sa chaleur, on trouve environ 50 millions d'années ; ce temps ne saurait suffire aux géologues ; non seulement l'évolution des formes -organisées n'a pu se pro- duire aussi vite, — c'est là un point sur lequel on
2
14 DERNIÈRES PENSÉES
pourrait discuter, — mais le dépôt des couches où on trouve des restes de végétaux ou d'animaux qui n'ont pu vivre sans soleil, a exigé un nombre d'an- nées peut-être dix fois plus grand.
Ce qui a rendu la contradiction possible, c'est que le raisonnement sur lequel repose l'évidence géologique diffère beaucoup de celui du mathé- maticien. Observant des effets identiques, nous concluons à l'identité des causes, et par exemple en retrouvant les restes fossiles d'animaux appar- tenant à une famille actuellement vivante, nous concluons qu'à l'époque où s'est déposée la couche qui contient ces fossiles, les conditions sans les- quelles les animaux de cette famille ne sauraient vivre, se trouvaient toutes réalisées à la fois.
Au premier abord, c'est bien la même chose que faisait le mathématicien, dont nous avions adopté le point de vue dans les paragraphes précédents ; lui aussi il concluait que, les lois n'ayant pas changé, des effets identiques ne pouvaient avoir été produits que par des causes identiques. Il y a toutefois une différence essentielle. Considérons l'état du monde, à un instant donné, et à un autre instant antérieur; l'état du monde, ou même celui d'une très petite partie du monde est quelque chose d'extrêmement complexe et qui dépend d'un très grand nombre d'éléments. Je suppose, pour simplifier l'exposé, deux' éléments seulement, de sorte que deux
l'évolution des lois 15
données suffisent pour définir cet état. A l'instant postérieur, ces données seront par exemple A etB", à l'instant antérieur A' et B'.
La formule du mathématicien, construite avec l'ensemble des lois observées, lui apprend que l'état A B ne peut avoir été engendré que par l'état anté- rieur A' B'; mais s'il ne connaît que l'une des don- nées, A par exemple, sans savoir si elle est accom- pagnée de l'autre donnée B, sa formule ne lui permet aucune conclusion. Tout au plus, si les phénomènes A et A' lui apparaissent comme liés entre eux, mais relativement indépendants de B et de B', conclura-t-il de A à A'; en aucun cas, il ne déduira la double circonstance A' et B' de la cir- constance unique A. Le géologue, au contraire, observant l'effet A seul, conclura qu'il n'a pu être produit que par le concours des causes A' et B'qui lui donnent souvent naissance sous nos yeux ; car dans bien des cas cet effet A est tellement spécial, qu'un autre concours de causes abou- tissant au même effet serait absolument invrai- semblable.
Si deux organismes sont identiques ou simple- ment analogues, cette analogie ne peut pas être due au hasard, et nous pouvons affirmer qu'ils ont vécu dans des conditions pareilles ; en en retrou- vant les débris, nous serons sûrs, non seulement qu'il a préexisté un germe analogue à celui d'où
Ib DERNlÈltES PENSÉES
nous voyons sortir des êtres semblables, mais que la température extérieure n'était pas trop élevée pour que ce germe pût se développer. Autrement ces débris ne pourraient être qu'un ludus naturœ, comme on le croyait au xvn^ siècle; et il est inutile de dire qu'une pareille conclusion choque absolu- ment la raison. L'existence de débris organisés n'est d'ailleurs qu'un cas extrême plus frappant que les autres, et sans sortir du monde minéral, nous aurions pu citer des exemples du même genre.
Le géologue peut donc conclure, là où le mathé- maticien serait impuissant. Mais on voit qu'il n'est plus garanti contre la contradiction comme l'était le mathématicien. Si d'une circonstance unique, il conclut à des circonstances antérieures multiples ; si l'étendue de la conclusion est en quehjue sorte plus grande que celle des prémisses, il est pos- sible que ce que l'on déduira d'une observation se trouve en désaccord avec ce qu'on tirera d'une autre. Chaque fait isolé devient pour ainsi dire un centre d'irradiation : de chacun d'eux le mathé- maticien déduisait un fait unique ; le géologue en déduit des faits multiples; du point lumineux qui lui est donné, il fait un disque brillant plus ou moins étendu ; deux points lumineux lui donneront alors deux disques qui pourront empiéter l'un sur l'autre, d'où la possibilité d'un conflit. Par exemple s'il
l'évolution des lois 17
trouve dans une couche des mollusques qui ne peuvent vivre au-dessous de 20°, il conclura que les mers de ce temps étaient chaudes; mais si ensuite un de ses collègues découvrait dans la même strate d'autres animaux que tuerait une température supérieure à 5°, il conclurait que ces mers étaient froides.
On peut avoir des raisons d'espérer que les obser- vations ne se contrediront pas en fait, ou que les contradictions ne seront pas irréductibles, mais nous ne sommes plus pour ainsi dire garantis contre le risque d'une contradiction par les règles mêmes de la logique formelle. Et alors on peut se deman- der si en raisonnant comme les géologues, on ne tombera pas un jour dans quelque conséquence absurde, de sorte qu'on sera obligé de conclure à la mutabilité des lois.
IV
Qu'on me permette ici une digression. Nous venons de voir que le géologue possède un instru- ment qui manque au mathématicien et qui lui per- met de conclure du présent au passé. Pourquoi le même instrument ne nous permet-il pas de conclure du présent à l'avenir? Si je vois un homme de vingt ans, je suis sûr qu'il a franchi toutes les étapes
2.
18 DERNIÈRES PENSÉES
depuis l'enfance jusqu'à l'âge adulte et par consé- quent qu'il n'y a pas eu depuis vingt ans sur la Terre un cataclysme qui y ait détruit toute vie, mais cela ne me prouve en aucune façon qu'il n'y en aura pas un d'ici à vingt ans. Nous avons pour con- naître le passé des armes qui nous manquent quand il s'agit de l'avenir, et c'est pour cela que l'avenir nous apparaît comme plus mystérieux que le passé.
Je ne puis m'empêcher ici de me reportera un article que j'ai écrit sur le hasard ; j'y rappelais l'opinion de M. Lalande qui avait dit, au contraire que, si l'avenir est déterminé par le passé, le passé ne 1 est pas par l'avenir. D'après lui une cause ne peut produire qu'un effet, tandis qu'un même effet peut être produit par plusieurs causes différentes. S'il en était ainsi, ce serait le passé qui serait mys- térieux et l'avenir qui serait aisé à connaître.
Je ne pouvais adopter cette opinion, mais j'ai montré quelle avait pu en être l'origine. Le prin- cipe de Carnotnous montre que l'énergie, que rien ne peut détruire, est susceptible de se dissiper. Les températures tendent à s'égaliser, le monde tend vers l'uniformité, c'est-à-dire vers la mort. De grandes différences dans les causes ne produisent donc que de petites différences dans les effets. Dès que les différences dans les effets deviennent trop faibles pour être observables, nous n'avons plus aucun moyen de connaître les différences qui ont
L'ÉVOLUTION DES LOIS 19
existé autrefois entre les causes qui leur ont donné naissance, quelque grandes que ces différences aient été.
Mais c'est justement parce que tout tend vers la mort, que la vie est une exception qu'il est néces- saire d'expliquer.
Que des cailloux roulants soient abandonnés au hasard sur une montagne, ils finiront tous par tom- ber dans la vallée ; si nous en retrouvons un tout en bas, ce sera un effet banal et qui ne nous renseignera pas sur l'histoire antérieure du caillou ; nous ne pourrons pas savoir en quel point de la montagne il a été d'abord placé. Mais si, par hasard, nous rencontrons une pierre dans le voisinage du sommet, nous pourrons affirmer qu'elle y a tou- jours été, puisque dès qu'elle se fût trouvée sur la pente, elle eût roulé jusqu'au fond;' et nous le ferons avec d'autant plus de certitude que le cas est plus exceptionnel et qu'il avait plus de chances de ne pas se produire.
Je n'ai soulevé cette question qu'incidemment ; elle mériterait qu'on y réfléchît ; mais je ne veux pas me laisser entraîner trop loin de mon sujet. Est-il possible que les contradictions des géologues
20 DEBNIÈRES PENSÉES
amènent jamais les savants à conclure à l'évolution des lois ? Observons d'abord que c'est seulement dans la jeunesse des Sciences qu'elles emploient les raisonnements par analogie dont la géologie actuelle est obligée de se contenter. A mesure qu'elles se développent, elles se rapprochent de l'état que l'as- tronomie et la physique semblent avoir déjà atteint et où les lois sont susceptibles d'être énoncées dans le langage mathématique. Ce jour-là, ce que nous disions au début de ce travail redeviendra vrai sans restriction. Or beaucoup de personnes pensent que toutes les sciences sont appelées à subir plus ou moins vite, et les unes après les autres, la même évolution. S'il en était ainsi, les difficultés qui pourraient surgir ne seraient que provisoires, elles seraient destinées à s'évanouir dès que les sciences seraient sorties de l'enfance.
Mais nous n'avons pas besoin d'attendre cet incer- tain avenir. En quoi consiste le raisonnement par analogie du géologue ? Un fait géologique lui paraît tellement semblable à un fait actuel qu'il ne saurait attribuer cette similitude au hasard. Il ne croit pouvoir l'expliquer qu'en supposant que ces deux faits se soient produits dans des conditions tout à fait identiques. Et il iraitimaginerqueles conditions étaient identiques, sauf ce point de détail que les lois de la nature ayant varié dans l'intervalle, le monde tout entier aurait entièrement changé au point de
l'évolution des lois 21
devenir méconnaissable. Il affirmerait d'un côté que la température a dû rester la même, alors que par suite du bouleversement de toute la physique, les efîets de la température seraient devenus tout difîérenls, de sorte que le mot même de tempéra- ture aurait perdu toute espèce de sens. Évidem- ment, quoi qu'il arrive, ce ne sera jamais à une pareille conception qu'il s'arrêtera. La façon dont il conçoit la logique s'y oppose absolument.
VI
Et si l'humanité devait durer plus longtemps que nous ne l'avons supposé, assez longtemps pour voir les lois évoluer sous ses yeux? Ou bien encore si elle venait à acquérir des instruments assez délicats pour que cette variation, toute lente qu'elle soit, devienne sensible après quelques générations ? Ce ne serait plus alors par induction, par inférence que nous connaîtrions les changements des lois, ce serait par observation directe. Les raisonnements précédents ne perdraient-ils pas toute valeur? Les mémoires où seraient relatées les expériences de nos devanciers ne seraient encore que des vestiges du passé, qui ne nous donneraient de ce passé qu'une connaissance indirecte. Les vieux documents sont pour l'historien ce que les fossiles sont pour
^^ DEriN'.ERES PENSEES
le géologue, et les ouvrages des savants d'autrefois ne seraient que de vieux documents. Ils ne nous renseigneraient sur la pensée de ces savants que dans la mesure où les hommes d'autrefois seraient semblables à nous. Si les lois du monde venaient à changer, toutes les parties de l'univers en subiraient le contrecoup et l'humanité n'y saurait échapper; en admettant qu'elle pût survivre dans un milieu nouveau, il faudrait bien qu'elle changeât pour s'y adapter. Et alors le langage des hommes d'autrefois nous deviendrait incompréhensible ; les mots dont ils se servaient n'auraient plus de sens pour nous ou en auraient un autre que pour eux. N'est-ce pas déjà ce qui arrive, au bout de quelques siècles, bien que les lois de la physique soient demeurées im- muables ?
Et alors nous retombons toujours dans le même dilemme : ou bien les documents d'autrefois seront restés parfaitement clairs pour nous, et ce sera alors que le monde est resté le même, et ils ne pourront nous apprendre autre chose ; ou bien ils seront devenus des énigmes indéchiffrables, et ils ne pourront rien nous apprendre du tout, pas même que les lois ont évolué ; nous savons assez qu'il n'en faut pas tant pour qu'ils soient pour nous lettre morte.
D'ailleurs les hommes d'autrefois, comme nous mêmes, n'auront jamais eu des lois naturelles
l'évolution des lois 23
qu'une connaissance fragmentaire. Nous trouve- rions toujours bien moyen de raccorder ces deux Iragments même s'ils étaient restés intacts ; à plus forte raison s'il ne nous reste du plus ancien qu'une image affaiblie, incertaine et à demi effacée.
VII
Plaçons-nous maintenant à un autre point de vue. Les lois que nous donne l'observation directe ne sont jamais que des résultantes. Prenons par exemple la loi deMariotte. Pour la plupart des phy- siciens, ce n'est qu'une conséquence de la théorie cinétique des gaz; les molécules gazeuses sont ani- mées de vitesses considérables, elles décrivent des trajectoires compliquées dont on pourrait écrire l'équation exacte si l'on savait suivant quelles lois elles s'attirent ou se repoussent mutuellement. En raisonnant sur ces trajectoires d'après les règles du calcul des probabilités, on arrive à démontrer que la densité d'un gaz est proportionnelle à sa pression.
Les lois qui régissent les corps observables ne seraient donc que des conséquences des lois molé- culaires.
Leur simplicité ne serait qu'apparente et cache- rait une réalité extrêmement complexe puisque la complexité en serait mesurée par le nombre même
24 DERNIÈRES PENSÉES
des molécules. Mais c'est justement parce que ce nombre est très grand que les divergences de détail se compenseraient mutuellement et que nous croi- rions à l'harmonie.
Et les molécules elles-mêmes sont peut-être des mondes ; leurs lois ne sont peut-être aussi que des résultantes, et pour en trouver la raison, il faudrait descendre jusqu'aux molécules des molécules, sans qu'on sache où l'on finira par s'arrêter.
Les lois observables alors dépendent de deux choses, les lois moléculaires et l'agencement des molécules. Ce sont les lois moléculaires qui jouis- sent de l'immutabilité puisque ce sont les vraies lois et que les autres ne sont que des apparences. Mais l'agencement des molécules peut changer et avec lui les lois observables. Et ce serait une rai- son de croire à l'évolution des lois.
VIII
Je suppose un monde dont les diverses parties possèdent une conductibilité calorifique si parfaite qu'elles se maintiennent constamment en équilibre de température. Les habitants de ce monde n'au- raient aucune idée de ce que nous appelons dilTérence de température ; dans leurs traités de physique, il n'y aurait pas de chapitre consacré à la Ihermométrie.
l'évolution des lois 25
A part cela ces traités pourraient être assez com- plets et ils enseigneraient une foule de lois, beau- coup plus simples même que les nôtres.
Imaginons maintenant que ce monde se refroi- disse lentement par rayonnement ; la température y restera partout uniforme, mais elle diminuera avec le temps. Je suppose qu'un de ses habitants tombe en léthargie et se réveille au bout de quel- ques siècles; nous admettrons, puisque nous avons déjà supposé tant de choses, qu'il puisse vivre dans un monde plus froid et qu'il ait conservé le souvenir des choses d'autrefois. Il verra que ses descendants font encore des traités de physique, qu'ils continuent à ne pas parler de thermométrie, mais que les lois qu'ils enseignent sont très diffé- rentes de celles "qu'il a connues. Par exemple on lui a appris que l'eau bout sous une pression de 10 millimètres de mercure, et les nouveaux physiciens observeront que pour la faire bouillir il faut abaisser la pression jusqu'à 5 millimètres. Tel corps qu'il a connu autrefois liquide ne se pré- sentera plus qu'à l'état solide et ainsi de suite. Les relations mutuelles des diverses parties de l'univers dépendent toutes de la température et dès qu'elle change, tout est bouleversé.
Eh bien, savons-nous s'il n'y a pas quelque entité physique, aussi inconnue pour nous que la tempé- rature l'était pour les habitants de ce monde de
3
26 DERNIÈRES PENSÉES
fantaisie? Savons-nous si cette entité ne varie pas constamment comn)e la température d'un globe qui perd sa chaleur par rayonnement, et si cette varia- tion n'entraîne pas celle de toutes les lois?
IX
Revenons à notre monde imaginaire et deman- dons-nous si ses habitants ne pourraient pas, sans renouveler l'histoire des dormants d'Ephèse, s'aper- cevoir de cette évolution. Sans doute, si parfaite que soit la conductibilité calorifique sur leur pla- nète, elle ne serait pas absolue, de sorte que des différences de température extrêmement légères y seraient encore possibles. Elles échapperaient long- temps à l'observation, mais il viendrait peut-être un jour où on imaginerait des appareils de mesure plus sensibles et oii un physicien de génie mettrait en évidence ces différences presque imperceptibles. Une théorie s'édifierait, on verrait que ces écarts de température ont une influence sur tous les phé- nomènes physiques, et finalement quelque philo- sophe, dont les vues paraîtraient hasardées et téméraires à la plupart de ses contemporains, affir- merait que la température moyenne de l'univers pu varier dans le passé et avec elle toutes les lois connues.
L EVOLUTION DES LOIS
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Ne pourrions-nous faire nous aussi quelque chose de pareil? Par exemple les lois fondamentales de la Mécanique ont été longtemps considérées comme absolues. Aujourd'hui certains physiciens disent qu'elles doivent être modifiées, ou plutôt élargies ; qu'elles ne sont approximativement vraies que pour les vitesses auxquelles nous sommes accou- tumés ; qu'elles cesseraient de l'être pour des vitesses comparables à celle de la lumière ; et ils appuient leur manière de voir sur certaines expé- riences faites au moyen du radium. Les anciennes lois de la Dynamique n'en restent pas moins prati- quement vraies pour le monde qui nous entoure. Mais ne pourrait-on pas dire avec quelque apparence de raison que par suite de la dissipation constante de l'énergie, les vitesses des corps ont dû tendre à diminuer, puisque leur force vive tendait à se trans- former en chaleur ; qu'en remontant assez loin dans le passé, on trouverait une époque où les vitesses comparables à celle de la lumière n'étaient pas exceptionnelles, où par suite les lois classiques de la Dynamique n'étaient pas encore vraies?
Supposons d'autre part que les lois observables ne soient que des résultantes, dépendant à la fois des lois moléculaires et de l'agencement des molé- cules ; quand les progrès de la Science nous auront familiarisés avec cette dépendance, nous pourrons sans doute conclure, qu'en vertu même des lois
28 DERNIÈRES PENSÉES
moléculaires, ragencement des molécules a dû être autrefois différent de ce qu'il est aujourd'hui, et par conséquent que les lois observables n'ont pas toujours été les mêmes. Nous conclurions donc à la variabilité des lois, mais, qu'on le remarque bien, ce serait en vertu même du principe de leur immutabilité. Nous affirmerions que les lois appa- rentes ont changé, mais ce serait parce que les lois moléculaires, que nous regarderions désormais comme les vraies lois, seraient proclamées im- muables.
Ainsi il n'est pas une seule loi que nous puissions énoncer avec la certitude qu'elle a toujours été vraie dans le passé avec la même approximation qu'aujourd'hui, je dirai plus, avec la certitude qu'on ne pourra jamais démontrer qu'elle a été fausse autrefois. Et néanmoins, il n'y a rien là qui puisse empêcher le savant de garder sa foi au principe de l'immutabilité, puisque aucune loi ne pourra jamais descendre au rang de loi transitoire, que pour être remplacée par une autre loi plus générale et plus compréhensive ; qu'elle ne devra même sa disgrâce qu'à l'avènement de cette loi nouvelle, de sorte qu'il n'y aura pas eu d'interrègne et que les
l'évolution des lois 29
principes resteront saufs; que ce sera par eux que se feront les changements et que ces révolutions mêmes paraîtront en être une confirmation écla- tante.
Il n'arrivera même pas qu'on constatera des variations par l'expérience ou par l'induction, et qu'on les expliquera après coup en cherchant à tout faire rentrer dans une synthèse plus ou moins artificielle. Non, ce sera la synthèse qui viendra d'abord, et si nous admettons des variations, ce sera pour ne pas la déranger.
XI
Jusqu'ici nous n'avons pas semblé nous inquiéter
de savoir si les lois varient réellement, mais seule- ment si les hommes peuvent les croire variables. Les lois considérées comme existant en dehors de l'esprit qui les crée ou qui les observe sont-elles immuables en soi? Non seulement la question est jnsoluble, mais elle n'a aucun sens. A quoi bon se demander si dans le monde des choses en soi les lois peuvent varier avec le temps, alors que dans un pareil monde, le mot de temps est peut-être vide de sens? De ce que ce monde est, nous ne pouvons rien dire, ni rien penser, mais seulement de ce qu'il paraît ou pourrait paraître à des intel-
3.
30
DERNIERES PENSEES
ligences qui ne différeraient pas trop de la nôtre.
La question ainsi posée comporte une solution. Si nous envisageons deux esprits semblables au nôtre observant l'univers à deux dates différentes, sépa- rées par exemple par des millions d'années, chacun de ces esprits bâtira une science, qui sera un sys- tème de lois déduites des faits observés. 11 est probable que ces sciences seront très différentes et en ce sens on pourrait dire que les lois ont évolué. Mais quelque grand que soit l'écart, on pourra toujours concevoir une intelligence de même nature encore que la nôtre, mais de portée beau- coup plus grande, ou appelée à une vie plus longue, qui sera capable de faire la synthèse et de réunir dans une formule unique, parfaitement cohérente, les deux formules fragmentaires et approchées auxquelles les deux chercheurs éphémères étaient parvenus dans le peu de temps dont ils disposaient. Pour elle, les lois n'auront pas changé, la science sera immuable, ce seront seulement les savants qui auront été imparfaitement informés.
Pour prendre une comparaison géométrique, supposons qu'on puisse représenter les variations du monde par une courbe analytique. Chacun de nous ne peut voir qu'un très petit arc de cette courbe; s'il le connaissait exactement, cela lui suffirait pour établir l'équation de la courbe, et pour pouvoir la prolonger indéfiniment. Mais il n'a
L EVOLUTION DES LOIS
31
de cet arc qu'une connaissance imparfaite et il peut se tromper sur cette équation : s'il cherche à prolonger la courbe, le trait qu'il tracera s'écartera de la courbe réelle d'autant plus que l'arc connu sera moins étendu, et qu'on voudra pousser plus loin le prolongement de cet arc. Un autre obser- vateur ne connaîtra qu'un autre arc et ne le connaîtra non plus qu'imparfaitement.
Pour peu que les deux travailleurs soient loin l'un de l'autre, ces deux prolongements qu'ils tra- ceront ne se raccorderont pas ; mais cela ne prouve pas qu'un observateur à la vue plus longue, qui apercevrait directement une plus grande lon- gueur de courbe, de façon à embrasser à la fois ces deux arcs, ne serait pas en état d'écrire une équation plus exacte et qui concilierait leurs formules divergentes; et même, quelque capri- cieuse que soit la courbe réelle, il y aura toujours une courbe analytique, qui sur une longueur aussi grande qu'on voudra, s'en écartera aussi peu qu'on voudra.
Sans doute bien des lecteurs seront choqués de voir qu'à tout instant je semble remplacer le monde par un système de symboles simples. Ce n'est pas simplement par habitude professionnelle de mathématicien ; la nature de mon sujet m'im- posait absolument celte attitude. Le monde berg- sonien n'a pas de lois; ce qui peut en avoir, c'est
32 DERNIÈRES PENSÉES
simplement l'ima^^e plus ou moins déformée que les savants s'en font. Quand on dit que la nature est gouvernée par des lois, on entend que ce por- trait est encore assez ressemblant. C'est donc sur lui et sur lui seulement que nous devions rai- sonner, sous peine de voir s'évanouir l'idée même de loi qui était l'objet de notre étude. Or cette image est démontable; on peut la disséquer en éléments, y distinguer des instants extérieurs les uns aux autres, des parties indépendantes. Que si j'ai simplifié parfois à outrance et réduit ces éléments à un trop petit nombre, ce n'est là qu'une affaire de degré: cela ne changeait rien à la nature de mes raisonnements et à leur portée; l'exposition en devenait simplement plus brève.
CHAPITRE U L'ESPACE ET LE TEMPS
CHAPITRE II L'ESPACE ET LE TEMPS
Une des raisons qui m'ont déterminé à revenir sur une des questions que j'ai le plus souvent trai- tées, c'est la révolution qui s'est récemment accom- plie dans nos idées sur la Mécanique. Le principe de relativité, tel que le conçoit Lorentz, ne va-t-il pas nous imposer une conception entièrement nou- velle de l'espace et du temps et par là nous forcer à abandonner des conclusions qui pouvaient sembler acquises? N'avons-nous pas dit que la géométrie a été construite par l'esprit à l'occasion de l'expé- rience, sans doute, mais sans nous être imposée par l'expérience, de telle façon que, une fois constituée, elle est à l'abri de toute revision, elle est hors d'atteinte de nouveaux assauts de l'expérience? et cependant les expériences sur lesquelles est fondée la mécanique nouvelle ne semblent-elles pas l'avoir ébranlée ? Pour voir ce qu'on en doit penser, je dois rappeler succinctement quelques-unes des idées
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fondamentales que j'ai cherché à mettre en évidence dans mes écrits antérieurs.
J'écarterai d'abord l'idée d'un prétendq sens de l'espace qui nous ferait localiser nos sensations dans un espace tout fait, dont la notion préexiste- rait à toute expérience, et qui avant toute expérience aurait toutes les propriétés de l'espace du géo- mètre. Qu'est-ce en effet que ce prétendu sens de l'espace? Quand nous voulons savoir si un animal le possède, quelle expérience faisons-nous ? Nous plaçons dans son voisinage des objets qu'il convoite, et nous regardons s'il sait faire sans tâtonnement les mouvements qui lui permettent de les atteindre. Et comment voyons-nous que les autres hommes sont doués de ce précieux sens_de l'espace? c'est parce qu'eux aussi, ils sont capables de contracter leurs muscles à propos pour atteindre les objets dont la présence leur est révélée par certaines sen- sations. Qu'y a-t-il de plus quand nous constatons le sens de l'espace dans notre propre conscience? Ici encore, en présence de sensations variées, nous savons que nous pourrions faire des mouvements qui nous permettraient d'atteindre les objets que nous regardons comme la cause de ces sensations, et par là d'agir sur ces sensations, les faire dispa- raître ou les rendre plus intenses ; la seule diffé- rence c'est que pour le savoir, nous n'avons pas besoin de faire effectivement ces mouvements, il
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nous suffit de nous les représenter. Ce sens de l'es- pace que l'intelligence serait impuissante à expri- mer, ne pourrait être que je ne sais quelle force qui résiderait dans le tréfonds de l'inconscient, et alors cette force ne pourrait nous être connue que par les actes qu'elle provoque ; et ces actes ce sont précisément les mouvements dont je viens de parler. Le sens_de l'espace se réduit donc à une association constante entre certaines sensations et certains mouvements, ou à la repré.sentation de ces mouvements. (Est-il besoin, afin d'éviter une équi- voque sans cesse renaissante, malgré mes explica- tions réitérées, de répéter une fois de plus que j'entends par là non la représentation de ces mou- vements dans l'espace, mais la représentation des sensations qui les accompagnent?)
Pourquoi maintenant et dans quelle mesure l'es- pace est-il relatif ? Il est clair que si tous les objets qui nous entourent et notre corps lui-même, ainsi que nos instruments de mesure étaient transportés dans une autre région de l'espace, sans que leurs distances mutuelles yarientj, jipus ne nous en aper- cevrions pas, et ç'est^n effet ce qui arrive, puiscjue nous sommes entraînés sans nous en douter parle mouvement de la Terre. Si les objets étaient tous agrandis dans une même proportion, et qu'il en fût de même de nos instruments de mesure, nous ne nous en apercevrions pas davantage. Ainsi non seu-
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38 DERNIÈRES PENSEES
lement nous ne pouvons connaître la iK)sitioB_abso- lue d'unjobjet dans l'espace, de sorte que ce mot, « position absolue d'un objet », n'a aucun sens et ; qu'il convient de parler seulement de sa^j^qsition ; re^ative^par rapport à d'autre^ objets; mais le mot j « grandeur absolue d'un objet », « distance absolue dejleux_points », n'a aucun sens; on doit parler seulement du rapport de deux grandeurs, du rapport de deux distances. Mais il y a plus: supposons que tous les objets soient déformés suivant une certaine loi, plus compliquée que les précédentes, suivant une loi tout à fait quelconque et qu'en même temps nos instruments de mesure soient déformés suivant la même loi; de cela non plus nous ne pourrions pas nous apercevoir, de sorte que l'espace est beau- coup plus relatif encore qu'on ne le croit d'ordi- naire. Nous ne pouvons nous apercevoir que des modifications de forme des objets qui diffèrent des modifications simultanées de forme de nos instru- ments de mesure.
Nos instruments de mesure sont des coi^g, solides ; ou bien ils sont formés de plusieurs corps solides mobiles les uns par rapport aux autres et dont les déplacements relatifs nous sont indiqués par des repères placés ..sur_ces corps, par des index_se déplaçant sur des échelles graduées, et c'est précir sèment en lisant ces indications qu'on se sert-ëe, i'instrument. Nous savons donc si notre instrument
L ESPACE ET LE TEMPS
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s'est oui ou non déplacé à la façon d'un solide invariable, puisque dans ce cas les indications en question n'ont pas changé. Nos instruments com- portent aussi des lunettes avec lesquelles nous fai- sons des visées, de sorte qu'on peut dire que le rayon lumineux est aussi un de nos instruments.
Notre intuition de l'espace nous en apprendra- t-elle davantage? Nous venons de voir qu'elle se réduit à une association constante entre certaines sensations et certains mouvements. C'est di^e que les membres avec lesquels nous faisons ces mou- vements jouent aussi pour ainsi dire le rôle d'ins- truments de mesure. Ces instruments qui sont moins précis que ceux du savant nous suffisent pour la vie de tous les jours, et c'est avec eux que l'enfant, que l'homme primitif, a mesuré l'espace ou pour mieux dire s'est construit l'espace dont il se contente pour les besoins de sa vie quotidienne. Notre corps est notre premier instrument de mesure: comme les autres, il se compose de plusieurs pièces solides mobiles les unes par rapport aux autres, et certaines sensations nous avertissent des déplace- ments relatifs de ces pièces, de sorte que comme dans le cas des instruments artificiels, nous savons si notre^îorps s'est oujjaa-^on^ déplacé comme un solide invariable. En résumé, nos instruments, ceux que l'enfant doit à la nature, ceux que le savant doit à son génie, ont comme éléments fon-
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DERNIERES PENSEES
damentaux le corps solide et le rayon lumineux.
Dans ces conditions l'espace a-t-il des proj)riétés géométriques indépendantes des instruments qui servent à le mesurer? Il peut, avons-nous dit, subir une déformation quelconque sans que rien nous en avertisse, si nos instruments la subissent égale- ment. En réalité, il est donc amorphe, il est une forme flasque, sans rigidité, qui peut s'appliquer à tout; il n'a pas de propriétés à lui ; faire de la géo- métrie, c'est étudier les propriétés de nos instru- ments, c'est-à-dire du corps solide.
Mais alors, comme nos instruments sont impar- faits, la géométrie devrait se modifier chaque fois qu'ils se perfectionnent ; les constructeurs devraient pouvoir mettre sur leurs prospectus : « Je fournis un espace bien supérieur à celui de mes concurrents, beaucoup plus simple, beaucoup plus commode, beaucoup plus confortable ». Nous savons qu'il n'en est pas ainsi ; nous serions tentés de dire que la géométrie, c'est l'étude des propriétés qu'auraient les instruments s'ils étaient parfaits. Mais pour cela il faudrait savoir ce que c'est qu'un instrument parfait, et nous ne le savons pas puisqu'il n'y en a pas, et que nous ne pourrions défmir l'instrument idéal que par la géométrie, ce qui est un cercle vicieux. Et alors nous dirons que la géométrie est l'étude d'un ensemble de lois peu dilîérentesje celles auxquelles obéissent réellemejOLt nos_instru-
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ments, mais beaucoup plus simples, de lois qui ne régissent efTeclivement aucun objet naturel, mais qui sont concevables pour l'esprit. En ce sens, la géométrie est une convention, une sorte de cote mal taillée entre notre amour de la simplicité et notre désir de ne pas trop nous écarter de ce que nous apprennent nos instruments. Cette convention défi- nit à la fois l'espace et l'instrument parfait.
Ce que nous avons dit de l'espace s'applique au temps ; je ne veux pas parler ici du temps tel que le conçoivent les disciples de Bej;gson, de cette durée qui, loin d'êlre une pure quantité exempte de toute qualité, est pour ainsi dire la qualité même et dont les diverses_parties, qui d'ailleurs se pénètrent en partie mutuellement, se distinguent qualitativement les unes des autres. Cette durée ne pouvait être un instrument pour les savants ; elle n'a pu jouer ce rôle qu'en subissant une trans- formation profonde, qu'en se spatialisant, comme dit Bergson. Il a fallu en effet qu'elle devint mesu- rable ; ce qui ne se mesure pas n^ peut être objet de science. Or, le temps mesurable est aussi essen- tiellement relatif. Si tous les phénomènes se ralen- tissaient, et s'il en létaîrde même de la marche de nos horloges, nous ne nous en apercevrions pas ; et cela quelle que soit la loi de ce ralentissement, pourvu qu'elle soit la même pour toutes les sortes de phénomènes et pour toutes les horloges. Les pro-
4.
42 DERNIÈRES PENSÉES
priétés du temps ne sont donc que celles des hor- 1 loges, comme les propriétés de l'espace ne sont que i celles des instruments de mesure.
Ce n'est pas tout; le teni^_£Sj£hologique, la durée bergsonienne, d'où le temps du savant est sorti, sert à classer les phénomènes qui_se passent dans une même conscience ; il est impuissant à classer deux phénomènes psychologiques qui ont pour théâtre deux consciences difTérentes ou a for- tiori deux phénomènes physiquesT tlti^'énement se passe sur la Terre, un autre sur Sirius ; com- \^ ment saurons-nous si le premier est antérieur au : second, ou simultané, ou postérieur? ce ne4)0urra [| être que par une convention^^______,— "-^''^
Mais on peut envisagé? la relativité dutemps et de resj)ace à un point de vue tout différent. Consi- dérons les lois auxquelles le monde obéit ;_elles peuvent s'exprimer par des équations différen- tielles; nous constatons que ces équations ne sont pas altérées, si l'on change les axes rectan^gulaires de coordonnées, ces axes restant fixes ; rii si l'on change l'origine du temps, ni si l'on remplace les axes rectangulaires fixes par des,axesrectan^_uLairÊS mobiles, mais dont le mouVemenJ esj, une_traii&la:^ tion rectiligne et uniforme. Permettez-moi d'appeler la relativité psychologique si elle est envisagée au premier point de vue et physùjue si elle l'est au second. Vous voyez tout de suite que la relativité
l'espace et le temps 43
physique est beaucou£j)lusj^estreinte que la relati- vité psychologique. Nous avons dit par exemple que rien ne serait changé, si on multipliait toutes les longueurs par une même constante, pourvu que la multiplication portât à la fois sur tous les objets et tous les instruments ; or, si nous multiplions toutes les coordonnées par une même constante, il est possible que nos équations différentielles soient altérées. Elles le seraient si on rapportait le système à des axes mobiles tournants puisqu'il fau- drait y introduire la force centrifuge ordinaire et la force centrifuge composée ; c'est ainsi que l'expé- rience de Foucault a pu mettre en évidence la rota- tion de la Terre. Il j^ a^là quelque chose qui choqua un peu nos idées sur la relativité de l'espace, idées fondées sur la relativité psychologique et ce désac- cord ajjaru embarrassant à bien des philosophes. Examinons la question d'un peu plus près. Toutes les parties du monde sont solidaires et quelque loin que soit Sirius, il n'est sans doute pas absolument sans action sur ce qui se passe chez nousr Si donc nous voulons écrire les équations différentielles qui régissent le monde^ ou bien ces équations seront inexactes, ou bien elles devront dépendre de l'état du monde tout entier. Il n'y aura pas un sys- tème d'équations pour le monde terrestre, et un autre pour le monde de Sirius, il y en aura un seul qui s'appliquera à tout l'univers.
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Or, nous n'observons pas directement les équa- tions différentielles ; ce que nous observons, ce sont les équations finies qui sont la traduction immédiate des phénomènes observables et d'où les équations différentielles se déduisent par différen- tiation. Les équations différentielles ne sont pas altérées quand on fait un des changements d'axes dont nous avons parlé, mais il n'en est pas de même des équations finies ; le changement d'axes nous obligerait en effet à changer les cons- tantes d'intégration. Le principe de relativité ne s'applique donc pas aux équations finies direc- tement observées, mais aux équations différen- tielles.
Or, comment peut-on passer des équations finies aux équations différentielles dont elles sont les inté- grales? il faut connaître plusieurs intégrales parti- culières différant les unes des autres parles valeurs attribuées aux constantes d'intégration, puis éli- miner ces constantes par différenîjation ; une seule de ces solutions est réalisée dans la nature, bien qu'il y en ait une infinité de possibles; pour former les équations différentielles, il faudrait con- naître non seulement celle qui est réalisée, mais toutes celles qui sont possibles.
Or, si nous n'avons qu'un seul système dejois s'ap- pliquant à tout l'univers, l'observation ne nous don- nera qu'une solution unique, celle qui est réalisée;
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car l'univers n'est tiré qu'à un seul exemplaire ; et c'est là une première difficulté.
De plus, en vertu de la relativité psychologique de J'espace, nous ne pouvons observer que ce que nos instruments peuvent mesurer; ils nous donne- ront par exemple les distances des astres, ou des diverscorps que nous avons à considérer ; ils ne nous donneront pas leurs coordonnées par rapport à des axes fixes ou mobiles qui n'ont qu'une existence purement conventionnelle. Si nos équations con- tiennent ces coordonnées, c'est par une fiction qui peut être commode, mais qui n'est qu'une fiction ; si nous voulons que nos équations traduisent direc- tement ce que nous observons, il faudra que les distances figurent parmi nos variables indépen- dantes, et alors il arrivera que les autres variables disparaîtront d'elles-mêmes. Ce sera là notre prin- cipe de rélatiïité-r-iïîcrîs il n'a plus aucun sens ; il signifie seulement que nous avions introduit dans nos équations des variables auxiliaires, parasites, qui ne représentent rien de tangible et qu'il est possible de les éliminer.
Ces difficultés s'évanouiront si on ne tient pas à une rigueur absolue. Les diverses parties du monde sont solidaires, mais pour peu que la distance soit grande, l'action est si faible qu'on est en droit de la nég^ljger ; et alors nos équations vont se répartir en systèmes séparés, l'un s'appliquant au monde
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DERNIERES PENSEES
terrestre seul, l'autre au monde solaire, l'autre au monde de Sirius, ou même à des mondes beaucoup plus petits tels que la table d'un labo- ratoire.
Et alors il n'est plus vrai dédire que l'univers n'est tiré qu'à un seul exemplaire ; il peut y avoir beaucoup de tables dans un laboratoire; il sera possible de recommencer une expérience en en faisant varier les conditions ; on connaîtra non plus une solution unique, la seule qui soit réalisée, mais un grand nombre.de solutioas possibles et il deviendra facile de passer des équations finies aux équations diffé- rentielles.
D'autre part, nous connaîtrons non seulement les distances mutuelles des divers corps d'un de ces petits mondes, mais leurs distances aux corps des petits mondes voisins. Nous pouvons nous arranger pour que les secondes seules varient, les premières restant constantes. Ce sera alors comme si nous avions changé les axes auxquels le premier petit monde était rapporté. Les étoiles sont trop loin pour agir sensiblement sur nptre monde terrestre, mais nous les voyons, et grâce à elles nous pouvons rapporter ce monde terrestre à des axes liés à ces étoiles ; nous avons le moyen de mesurer à la fois les distances mutuelles des corps terrestres et les coordonnées de ces corps par rapport à ce système d'axes qui est étranger au monde terrestre. Le
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principe de relativité prend ainsi un sens : il devient véridable.
Observons toutefois que nous n'avons obtenu ce résultat qu'en négligeant certaines actions et que cependant nous ne considérons pas notre principe comme simplement approché ; nous lui attribuons une valeur absolue ; voyant en effet qu'lLxfiste vrai quelque éloignés que soient nos petits mondes les uns des autres, nous convenons de dire qu'il est vrai pour les équations exactes de l'univers ; et cette con- vention ne sera jamais prise en défaut, puisque, ap- pliqué à l'univers entier, le principe est invérifiable.
Revenons maintenant au cas dont nous avions parlé tout à l'heure ; un système est rapporté tantôt à des axes fixes, tantôt à des axes tournants ; les équations qui le régissent vont-elles changer? Oui, répond la Mécaniçjue ordinaire ; est-ce exact? Ce que nous observons ce ne sont pas les coordonnées des corps, ce sont leurs distances mutuelles ; nous pourrions donc chercher à former les équations auxquelles obéissent ces distances, en éliminant les autres quantités, qui ne sont que des variables parasites et inaccessibles à l'observation. Cette éli- mination est toujours possible; seulement, si nous avions conservé les coordonnées, nous serions arrivés à des équations différentielles du 2"^ ordre; celles que nous obtiendrons après avoir éliminé tout ce qui n'est pas observable, seront au coa-
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DEUMERES PENSEES
traire du 3* ordre, de sorte qu'elles laisseront place à un plus grand nombre de possibles. A ce compte le priafiipejle relativité s'appliquera encore à ce cas ; quand on passera des axes fixes aux axes tournants, ces équations du 3° ordre ne varieront pas. Ce qui variera, ce seront les équations du 2* ordre qui définissent les coordonnées ; or, ces der- nières sont pour ainsi dire des intégrales des pre- mières, et comme dans toutes les intégrales des équations différenlielles, il y figure une constante d'intégration, c'est cette constante qui ne reste pas la même quand on passe des axes fixes aux axes tournants. Mais, conime-ROtrs-strppô^ons notre^ys- tème complètement isolé dans l'espace, que nous le regardons comme l'univers entier, nous n'avons aucun moyen de savoir s'il tourne; ce sont donc bien les équations du 3* ordre qui expriment ce que nous observons.
Au lieu de considérer l'univers entier, envisa- geons maintenant nos petits mondes séparés sans action mécanique les uns sur les autres, mais visibles les uns pour les autres; si l'un de ces mondes tourne, nous verrons alors qu'il tourne ; nous reconnaîtrons que la valeur que l'on doit attri- buer à la cojîstante dont nous venons de parler dépend de la vitesse de rotation et c'est ainsi que se trouvera justifiée la convention habituellemen*^ adoptée par les mécaniciens.
l'espace et le temps 49
On A'oil donc quel est le sens du principe de rela- tivité physique ; il njest plus une simple convention ; il est vérifiable et par conséquent il pourrait n'être pas vérilié ; c'est une vérité expérimentale, et quel est le sens de cette vérité? Il est aisé de le déduire des considérations qui précèdent; il signi- fie que l'action. mutuelle de deux corps tend vers zéro quand ces deux corps s'éloignent indéfini- ment l'un de l'autre ; il signifie que deux mondes éloignés se comportent comme, s'ils étaient indé- pendants ; et on conçoit mieux pourquoi le prin- cipe de relatiyitéjhysique a moins d'extension que le principe de relativité pathologique ; ce n'est plus une nécessité due à la nature même de notre esprit; c'est une vérité expérimentale à laquelle l'expérience impose des limites.
Ce principe de relativité physique peut servir à définir l'espace ; il nous fournit pour ainsi dire un nouvel instrument de mesure. Je m'explique : com- ment le corps solide pouvait-il nous servir à mesu- rer, ou plutôt" à construire l'espace? En transpor- tant un corps solide d'une position dans une autre, nous reconnaissions qu'on peut l'appliquer d'abord sur une jîgure et ensuite sur une^ autre et jipus convenions de considérer ces deux figures comme égales^ De cette convention naissait la géométrie. A chaque déplacement possible du corps solide correspondait ainsi une transformation de l'espace
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en lui-même, n'altérant pas les formes et les gran- deurs des figures; et la_geométrie. n'est que la connaissance des relations mutuelles de ces trans- formations, ou pour parler le langage mathéma- tique, l'étude de la structure du groupe formé par ces transformations, c'est-à-dire du groupe des mouvements des corps solides.
Cela posé, voici un autre groupe, celui des trans- formations qui n'altèrent pas nos équations difïé- rentielles, voici une autre façon de définir l'égalité de deux figures; nous ne dirons plus : deux figures sont égales quand un même corps solide peut s'ap- pliquer sur l'une et sur l'autre; nous dirons: deux figures sont égales quand un même système mécanique, assez éloigné des systèmes voisins pour pouvoir être regardé comme isolé, placé d'abord de façon que ses différents points matériels repro- duisent la première figure, et ensuite de façon qu'ils reproduisent la seconde, se comportent ensuite de la même manière.
Les deux conceptions diiïèrent-elles essentielle- ment l'une de l'autre? Non; un corps solide prend sa forme sous l'influence des attractions et ré£iiJ- sions mutuelles de ses différentes molécules; et ce système de forces doit être en équilibre. Définir l'espace de façon qu'un corps solide conserve sa forme quand on le déplace, c'est le définir de façon que les équations d'équilibre de ce corps ne soient
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pas altérées par^un^j^angement^jd/axes ; or, ces équations d'équilibre ne sont qu'un cas particulier des équations générales de la Dynaniique, lesquelles, d'après le principe de relativité ^physique, ne doi- vent pas être modifiées par ce changement d'axes.
Un corps solide est un système mécanique comme un autre ; la seule différence entre notre ancienne définition de l'espace et la nouvelle, c'est que celle- ci est plus large, en ce sens qu'elle permet de remplacer le corps solide par tout autre système méaanique. De plus la convention nouvelle ne définit pas seulement l'espace^ elle définit le temps. Elle nous apprend ce que c'est que deux instants simultanés, ce que c'est que deux temps égaux ou qu'un temps double d'un autre.
Une dernière remarque: le^^princj^ede^ relativité physique,jiousJ^ons dit, est_un_Jjiitexpéri men- tal, au même; titre que les propriétés des solides naUirels ; comriîe~1:ei7^1^^susceptrbTë^(nîne inces- sante révision ; et la géométrie doit échapper à cette revision; pour cela il faut qu'elle redevienne une convention, que le principe de relativité soit re- gardé comme une convention ; nous avons dit quel est son sens expérimental, il signifie que l'action mutuelle de deux systèmes très éloignés tend vers zéro quand leur distance augmente indéfiniment ; l'expérience nous apprend que cela est à peu près vrai ; elle ne peut nous apprendre que cela est tout
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à fait vrai, puisque la distance des deux systèmes demeurera toujours finie. Mais rien ne nous empê- che de supposer que cela est tout à fait vrai ; rien ne nous en empêcheraitmême si l'expérience donnait au principe un apparent démenti; supposons que ractioji mutuelle, après avoir diminué quand nous fai- sons croître la distance, se mette ensuite à croître ; rien ne nous empêcherait d'admettre que pour une distance plus grande encore, elle décroîtrait de nou- veau pour tendre finalement vers zéro. Seulement alors le principe se présente à nous comme une convention, ce qui le soustrait aux alteintes^e l'expérience. C'est une convention qui nous est sug- gérée par l'expérience, mais que nous adoptons librement.
Quelle est alors la révolution qui est due aux récents progrès de la Physique? Le principe de relativité, sous sa forme ancienne, a dû être aban- donné, il est remplacé par le principe de relativité de Lorentz. Ce sont les transformations du « grou^^e de Lorentz » qui n'altèrent pas les équations diffé- rentielles de la Dynamique. Si nous supposons que le système est rapporté non plus à des axes fixes^ mais à des axes animés d'un mouvement de transla- tion, il faut admettre que tous les corps se défor- ment, qu'une sphère, par exemple, se transforme en un ellipsoïde dont le petit axe est parallèle à la translation desxajces ; il faut que le temps lui-même
l'espace et le temps 53
soit profondément modifié ; voilà deux observateurs, le premier lié aux axes fixes, le second aux jixes mobUes, mais se croyant l'un et l'autre en repos. Non seulement telle figure, que le premier regarde comme une sphère, apparaîtra au second comme un ellipsoïde ; mais deux événements que le pre- mier regardera comme simultanés ne le seront plus pour le second.
TouJ^se^ passe comme si le temps était une qua- trième dimension de l'espace; et comme si l'espac à quatre dimensions résultant de la combinaison de l'espace ordinaire et du temps pouvait tourner non seulement autour d'un axe de l'espace ordi- naire, de façon que le temps ne soit pas altéré, mais autour d'un axe quelconque. Pour que la comparïisofl-soit- math éjnat|que m en t juste, il fau- drait attribuer des valeurs purement imaginaires à cette quatrième coordonnée de l'espace; les quatre coordonnées d'un point de notre nouvel espace ne seraient pas x, ?/,z et t, mais x, y, z et ty/ — 1. Mais je n'insiste j^ sur ce point ; l'essentiel est de remar- quer que dans la nouvelle conception l'espace et
temps ne sont plus deux entités entièrement dis- tinctes et que l'on puisse envisagerséparément, mais deux parties d'un même tout et deux parties qui sont comme étroitement enlacées de façon qu'on ne puisse plus les séparer facilement.
Autre remarque : j'ai cherché autrefois a définir
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I
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le rapport de deux événements survenus dans deux théâtres différents en disant que l'un sera regardé comme antérieur à l'autre s'il peut être considéré comme la cause de l'autre. Cette définition devient insuffisante ; dans cette Méçanijjue_Nouvelle, il n'y a pas d'effet qui se transmette instantanément ; la vitesse de transmission maximum est celle de la Lumière ; dans ces conditions il peut arriver que l'événement A ne puisse être (en vertu de la seule considération de l'espace et du temps) ni l'effet ni la cause de l'événement 5, si la distance des lieux où ils se produisent est telle que la Lumière ne puisse se transporter en temps utile ni du lieu de B au lieu de A, ni du lieu de A au lieu de B.
Quelle va être notre position en face de ces nou- velles conceptions? Allons-nous être forcés de modifier nos conclusions ? Non cerles : nous avions adopté une conventioîi parce qu'elle nous semblait commode, et nous disions que rien ne pourrait nous contraindre à l'abandonner. Aujourd'hui cer- tains physi_çiens veulent adopter une convention nouvelle. Ce n'est pas qu'ils y soient contraints ; ils jugent cette convention nouvelle plus_j3ommode, voilà tout ; et ceux qui ne sont pas de cet avis peuvent légitimement conserver l'ancienne pour ne pas troubler leurs vieilles habitudes. Je crois, entre nous, aue c'est ce qu'ils feront encore long- temps.
CHAPITRE III POURQUOI L'ESPACE A TROIS DIMENSIONS
CHAPITRE 111 POURQUOI L'ESPACE A TROIS DIMENSIOKS
§ 1. — L'ANALYSIS SITUS ET LE CONTINU
Les géomèlres distinguent d'ordinaire deux sortes de géométries, qu'ils qualifient la première de métrique et la seconde de projeclive; la géométrie métrique est fondée sur la notion de distance ; deux figures y sont regardées comme équivalentes, lorsqu'elles sont « égales » au sens que les mathé- maticiens donnent à ce mot ; la géométrie projective est fondée sur la notion de ligne droite. Pour que deux figures y soient considérées comme équiva- lentes, il n'est pas nécessaire qu'elles soient égales, il suffit qu'on puisse passer de l'une à l'autre par une transformation projective, c'est-à-dire que l'une soit la perspective de l'autre. On a souvent appelé ce second corps de doctrine, la géométrie qualitative; elle l'est en effet si on l'oppofe à la crémière, il est clair que la mesure, que la quan-
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DERNIERES PENSEES
lité y jouent un rôle moins important. Elle ne l'est pas entièrement cependant. Le fait pour une ligne d'être droite n'est pas purement qualitatif; on ne pourrait s'assurer qu'une ligne est droite sans faire des mesures, ou sans faire glisser sur cette ligne un instrument appelé règle qui est une sorte d'ins- trument de mesure.
Mais il est une troisième géométrie d'où la quan- tité est complètement bannie et qui est purement qualitative ; c'est VAnalysis Situs. Dans cette dis- cipline, deux figures sont équivalentes toutes les fois qu'on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue, quelle que soit d'ailleurs la loi de cette déformation pourvu qu'elle respecte la continuité. Ainsi un cercle est équivalent à une ellipse ou même à une courbe fermée quelconque, mais elle n'est pas équivalente à un segment de droite parce que ce segment n'est pas fermé ; une sphère est équivalente à une surface convexe quel- conque ; elle ne l'est pas à un tore parce que dans un tore il y a un trou et que dans une sphère il n'y en a pas. Supposons un modèle quelconque et la copie de ce même modèle exécutée par un dessina- teur maladroit; les proportions sont altérées, les droites tracées d'une main tremblante ont subi de fâcheuses déviations et présentent des courbures malencontreuses. Du point de vue de la géométrie métrique, de celui même de la géométrie projeclive,
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les deux figures ne sont pas équivalentes ; elles le sont au contraire du point de vue de l'Analysis Situs.
L'Analysis Situs est une science très importante pour le géomètre ; elle donne lieu à une série de théorèmes, aussi bien enchaînés que ceux d'Euclide ; et c'est sur cet ensemble de propositions que Riemann a construit une des théories les plus remar- quables et les plus abstraites de l'analyse pure. Je citerai deux de ces théorèmes pour en faire com- prendre la nature : deux courbes fermées planes se coupent en un nombre pair de points ; si un polyèdre est convexe, c'est-à-dire si on ne peut tracer une courbe fermée sur sa surface sans la couper en deux, le nombre des arêtes est égal à celui des sommets, plus celui des faces, moins deux ; et cela reste vrai quand les faces et les arêtes de ce polyèdre sont courbes.
Et voici ce qui fait pour nous l'intérêt de cette Analysis Situs ; c'est que c'est là qu'intervient vrai- ment l'intuition géométrique. Quand, dans un théo- rème de géométrie métrique, on fait appel à cette intuition, c'est parce qu'il est impossible d'étudier les propriétés métriques d'une figure en faisant abstraction de ses propriétés qualitatives, c'est-à- dire de celles qui sont l'objet propre de l'Analysis Situs. On a dit souvent que la géométrie est l'art
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de bien raisonner sur des figures mal faites. Ce n'est pas là une boutade, c'est une vérité qui mérite qu'on y réfléchisse. Mais qu'est-ce qu'une figure mal faite? c'est celle que peut exécuter le dessinateur maladroit dont nous parlions tout à l'heure ; il altère les proportions plus ou moins grossièrement ; ses lignes droites ont des zigzags inquiétants; ses cercles présentent des bosses dis- gracieuses ; tout cela ne fait rien, cela ne troublera nullement le géomètre, cela ne l'empêchera pas de bien raisonner.
Mais il ne faut pas que l'artiste inexpérimenté représente une courbe fermée par une courbe ou- verte, trois lignes qui se coupent en un même point par trois lignes qui n'aient aucun point commun, une surface trouée par une surface sans trou. Alors on ne pourrait plus se servir de sa figure et le raisonnement deviendrait impossible. L'intuition n'aurait pas été gênée par les défauts de dessin qui n'intéressaient que la géométrie métrique ou projective ; elle devien- dra impossible dès que ces défauts se rapporteront à l'Analysis Situs.
Cette observation très simple nous montre le véritable rôle de l'intuition géométrique; c'est pour favoriser cette intuition que le géomètre a besoin de dessiner des figures, ou tout au moins de se les représenter mentalement. Or, s'il fait bon marché des propriétés métriques ou projectives de
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ces figures, s'il s'attache seulement à leurs pro- priétés purement qualitatives, c'est que c'est là seulement que l'intuition géométrique intervient véritablement. Non que je veuille dire que la géo- métrie métrique repose sur la logique pure, qu'il n'y intervienne aucune vérité intuitive ; mais ce sont des intuitions d'une autre nature, analogues à celles qui jouent le rôle essentiel en arithmétique et en algèbre. , La proposition fondamentale de l'Analysis Situs, I c'est que l'espace est un continu à trois dimensions. Quelle est l'origine de cette proposition, c'est ce que j'ai examiné ailleurs, mais d'une façon très succincte et il ne me semble pas inutile d'y revenir avec quelques détails afin d'éclaircir certains points.
L'espace est relatif; je veux dire par là, non seulement que nous pourrions être transportés dans une autre région de l'espace sans nous en apercevoir (et c'est effectivement ce qui arrive puisque nous ne nous apercevons pas de la transla- tion de la Terre), non seulement que toutes les dimensions des objets pourraient être augmentées dans une même proportion, sans que nous puis- sions le savoir, pourvu que nos instruments de mesure participent à cet agrandissement ; mais je veux dire encore que l'espace pourrait être déformé suivant une loi arbitraire pourvu aue nos inslru-
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62 DERNIÈRES PENSÉES
meuts de mesure soient déformés précisément d'après la même loi.
Cette déformation pourrait être quelconque, elle devrait cependant être continue, c'est-à-dire être de celles qui transforment une figure en une autre figure équivalente au point de vue de l'Analysis Situs. L'espace, considéré indépendamment de nos instruments de mesure, n'a donc ni propriété métrique, ni propriété projective ; il n'a que des propriétés topologiques (c'est-à-dire de celles qu'étudie l'Analysis Situs). 11 est amorphe, c'est-à- dire qu'il ne diffère pas de celui qu'on en déduirait par une déformation continue quelconque. Je m'ex- plique en employant le langage mathématique. Voici deux espaces E et E'; le point M de E corres- pond au point M' de E'; le point M a pour coor- données rectangulaires x,y et z ; le point M' a pour coordonnées rectangulaires trois fonctions conti- nues quelconques de x, d'y et de z. Ces deux espaces ne diffèrent pas au point de vue qui nous occupe. Comment l'intervention de nos instruments de ■ mesure, et en particulier des corps solides donne à l'esprit l'occasion de déterminer et d'organiser plus complètement cet espace amorphe ; comment elle permet à la géométrie projective d'y tracer un réseau de lignes droites, à la géométrie métrique de mesurer les distances de ces points ; quel rôle essentiel joue dans ce processus la notion fonda-
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mentale de groupe, c'est ce que j'ai expliqué lon- guement ailleurs. Je regarde tous ces points comme acquis etje n'ai pas à y revenir.
Notre seul objet ici est l'espace amorphe qu'étudie l'AnalysisSitus, le seul espace qui soit indépendant de nos instruments de mesure, et sa propriété fondamentale, j'allais dire sa seule propriété, c'est d'être un continu à trois dimensions.
§ 2. — LE CONTINU ET LES COUPURES
Mais qu'est-ce qu'un continu à n dimensions; en quoi diffère-t-il d'un continu dont le nombre des dimensionsest plus grand ou plus petit? Rappelons d'abord quelques résultats obtenus récemment par les élèves de Gantor. Il est possible de faire corres- pondre un à un les points d'une droite à ceux d'un plan, ou, plus généralement, ceux d'un continu à n dimensions à ceux d'un continu à p dimensions. Ceci est possible, pourvu qu'on ne s'astreigne pas à la condition qu'à deux points infiniment voisins de la droite correspondent deux points infiniment voisins du plan, c'est-à-dire à la condition de con- tinuité.
On peut donc déformer le plan de façon à obtenir une droite, pourvu que cette déformation ne soit pascontinue. Cela serait impossible au contraireavec une déformation continue. Ainsi la question du nom-
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DERNIERES PENSEES
bre des dimensions est intimement liée à 1 n notion de continuité et elle n'aurait aucun sens pour celui qui voudrait faire abstraction de cette notion.
Pour définir le continu à n dimensions, nous avons d'abord la définition analytique; un continu à n dimensions est un ensemble de n coordonnées, c'est-à-dire un ensemble de n quantités suscep- tibles de varier indépendamment l'une de l'autre et de prendre toutes les valeurs réelles satisfaisant à certaines inégalités. Cette définition, irréprochable au point de vue mathématique, ne saurait pour- tant nous satisfaire entièrement. Dans un continu les diverses coordonnées ne sont pas pour ainsi dire juxtaposées les unes aux autres, elles sont liées entre elles de façon à former les divers aspects d'un tout. A chaque instant en étudiant l'espace, nous faisons ce qu'on appelle un change- ment de coordonnées, par exemple nous faisons un changement d'axes rectangulaires; ou bien nous passons aux coordonnées curvilignes. En étudiant un autre continu, nous faisons aussi des change- ments de coordonnées, c'est-à-dire que nous rem- plaçons nos n coordonnées par n fonctions continues quelconques de ces n coordonnées. Pour nous qui tirons la notion du continu à n dimensions, non de la définition analytique précitée, mais de je ne sais quelle source plus profonde, cette opération est toute naturelle; nous sentons qu'elle n'altère pas
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ce qu'il y a d'essentiel dans le continu. Pour ceux, au contraire, qui ne connaîtraient le continu que par la définition analytique, l'opération serait licite sans doute, mais baroque et mal justifiée.
Enfin cette définition fait bon marché de l'origine «ntuitive de la notion de continu, et de toutes les richesses que recèle cette notion. Elle rentre dans le type de ces définitions qui sont devenues si fré- quentes dans la Mathématique, depuis qu'on tend à « arilhmétiser » cette science. Ces définitions, irréprochables, nous l'avons dit, au point de vue mathématique, ne sauraient satisfaire le philosophe. Elles remplacent l'objet à définir et la notion intui- tive de cet objet par une construction faite avec des matériaux plus simples ; on voit bien alors qu'on peut effectivement faire cette construction avec ces matériaux, mais on voit en même temps qu'on pourrait en faire tout aussi bien beaucoup d'autres; ce qu'elle ne laisse pas voir c'est la raison profonde pour laquelle on a assemblé ces matériaux de cette façon et non pas d'une autre.
' Je ne veux pas dire que cette « arithmétisation » des mathématiques soit une mauvaise chose, je
' dis qu'elle n'est pas tout.
Je fonderai la détermination du nombre des dimensions sur la notion de coupure. Envisageons d'abord une courbe fermée, c'est-à-dire un con- tinu à une dimension; si, sur cette courbe nous
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66 DERNIÈRES PENSÉES
marquons deux points quelconques par lesquels nous nous interdirons de passer, la courbe se trouvera découpée en deux parties, et il deviendra impossible de passer de l'une à l'autre en restant sur la courbe et sans passer par les points inter- dits. Soit au contraire une surface fermée, consti- tuant un continu à deux dimensions ; nous pour- rons marquer sur cette surface, un, deux, un nombre quelconque de points interdits ; la surface ne sera pas pour cela décomposée en deux par- ties, il restera possible d'aller d'un point à l'autre de cette surface sans rencontrer d'obstacle, parce qu'on pourra toujours tourner autour des points interdits.
Mais si nous traçons sur la surface une ou plu- sieurs courbes fermées et si nous les considérons comme des coupures que nous nous interdirons de franchir, la surface pourra se trouver découpée en plusieurs parties.
Venons maintenant au cas de l'espace; on ne peut le décomposer en plusieurs parties, ni en interdisant de passer par certains points, ni en nterdisant de franchir certaines lignes ; on pour- rait toujours tourner ces obstacles, il faudra interdire de franchir certaines surfaces, c'est-à- dire certaines coupures à deux dimensions ; et c'est pour cela que nous disons que l'espace a trois dimensions.
POUBQUOl l'espace A TROIS DIMENSIONS 67
Nous savons maintenant ce que c'est qu'un con- tinu à n dimensions. Un continu a n dimensions quand on peut le décomposer en plusieurs parties en y pratiquant une ou plusieurs coupures qui soient elles-mêmes des continus à n-1 dimensions. Le continu à n dimensions se trouve ainsi défini par le continu à w-1 dimensions ; c'est une défini- tion par récurrence.
Ce qui me donne confiance dans cette définition, ce qui me montre que c'est bien ainsi que les choses se présentent naturellement à l'esprit, c'est d'abord que beaucoup d'auteurs de traités élémentaires, qui n'y entendaient pas malice, ont fait au début de leurs ouvrages quelque chose d'analogue. Ils définissent les volumes comme des portions de l'espace, les surfaces comme les frontières des volumes, les lignes comme celles des surfaces, les points comme celles des lignes ; après quoi ils s'ar- rêtent et l'analogie est évidente. C'est ensuite que dans les autres parties de l'Analysis Situs, nous retrouvons le rôle important de la coupure ; c'est sur la coupure que tout repose. Qu'est-ce qui, d'après Riemann, distingue, par exemple, le tore de la sphère? c'est qu'on ne peut pas tracer i ur une sphère une courbe fermée sans couper cette, surface en deux; tandis qu'il y a des courbes fermées qui ne coupent pas le tore en deux, et qu'il faut y pratiquer deux coupures fermées n'ayant aucun
^8 DERNIÈRES PENSÉES
point commun pour être sûr de l'avoir divisé. II reste encore un point à traiter. Les continus dont nous venons de parler sont des continus mathématiques, chacun de leurs points est un individu absolument distinct des autres et, d'ail- leurs, absolument indivisible. Les continus que nous révèlent directement nos sens, et que j'ai appelés continus physiques, sont tout différents. La loi de ces continus est la loi de Fechner, que je dépouillerai du pompeux appareil mathématique qui l'entoure d'ordinaire pour la réduire au simple énoncé des données expérimentales sur lesquelles elle repose. On sait distinguer au jugé un poids de 10 grammes d'un poids de 12 grammes; on ne pourrait distinguer un poids de 11 grammes, ni de celui de 10 grammes, ni de celui de 12 grammes. Plus généralement il peut y avoir- deux ensembles de sensations que nous distinguons l'un de l'autre, sans que nous puissions distinguer ni l'un, ni l'autre d'un même troisième. Cela posé, nous pou- vons imaginer une chaîne' continue d'ensembles de sensations de telle sorte que chacun d'eux ne se distingue pas du suivant, bien que les deux extré- mités de la chaîne se discernent aisément; ce sera là un continu physique à une dimension. Nous pouvons également imaginer des continus phy- siques plus complexes. Les éléments de ces con- tinus physiques seront encore des ensembles de
Fl>URQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS tJ^
sensations (mais je préfère employer le mot élé' ment qui est plus simple). Quand dirons-nous alors qu'un système S de semblables éléments est un continu physique? C'est quand on peut considérer deux quelconques de ses éléments comme les extrémités d'une chaîne continue ana- logue à celle dont je viens de parler et dont tous Jes éléments appartiennent à S. C'est ainsi qu'une surface est continue, si on peut joindre deux quelconques de ses points par une ligne continue qui ne sorte pas de la surface.
Pouvons-nous étendre la notion de coupure aux continus physiques et déterminer par là le nombre de leurs dimensions? Évidemment oui. Supposons que l'on s'interdise certains éléments de S, et tous ceux qu'on n'en peut discerner. Ces éléments interdits pourront d'ailleurs être en nombre fini, ou former par leur réunion un ou plusieurs con- tinus. L'ensemble de ces éléments interdits consti- tuera une coupure; et il pourra se faire qu'après avoir pratiqué cette coupure, on ait partagé le continu S en plusieurs autres, de façon qu'il ne soit plus possible de passer d'un élément quel- conque de S à un autre élément quelconque par une chaîne continue, aucun élément de cette chaîne n'étant indiscernable d'aucun élément de la coupure.
Alors un continu physique que l'on peut découper
70 DERNIÈRES PENSÉES
ainsi en s'interdisant un nombre fini d'éléments aura une dimension; un conlina physique aura n dimensions, si on peut le découper en y prati- quant des coupures qui soient elles-mêmes des continus physiques à n-1 dimensions.
§ 3. - L ESPACE ET LES SENS
Là question semble résolue; nous n'avons, sem- ble-t-il, qu'à appliquer cette règle, soit au continu physique qui est l'image grossière de l'espace, soit au continu mathématique correspondant qui en est l'image épurée et qui est l'espace du géomètre. / C'est là une illusion; cela irait bien si le continu physique d'où nous tirons l'espace nous était directement donné par les sens, mais il est loin d'en être ainsi.
Voyons, en effet, comment on peut, de la masse de nos sensations, déduire un continu physique. Chaque élément d'un continu physique est un ensemble de sensations; et le plus simple est de considérer d'abord un ensemble de sensations simultanées, un état de conscience. Mais chacun de nos états de conscience est quelque chose d'exces- sivement complexe, si bien qu'on ne peut espérer voir jamais deux étals de conscience devenir indis- cernables et cependant pour construire un continu physique, il est essentiel, d'après ce qui précède,
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que deux de ses éléments puissent, dans certains cas, être regardés comme indiscernables. Or, il n'arrivera jamais que nous puissions dire : je ne puis discerner mon état d'âme actuel de mon état d'âme d'avant-hier à pareille heure.
Il faut donc que, par une opération active de l'esprit, nous convenions de considérer comme identiques deux états de conscience en faisant abstraction de leurs différences. Nous pourrons, par exemple, et c'est le plus simple, faire abstrac- tion des données de certains sens. J'ai dit que je ne pouvais distinguer un poids de 10 grammes d'un poids de 11 grammes; il est probable pourtant que si j'ai jamais fait l'expérience, la sensation de pression causée par le poids de 10 grammes était accompagnée de sensations olfactives ou audi- tives diverses, et que quand le poids de 10 grammes a été remplacé par celui de 11, ces sensations (liverses avaient varié; c'est parce que je fais bstraction de ces sensations étrangères, que je puis dire que les deux états de conscience étaient indiscernables.
On peut faire d'autres conventions plus compli- quées ; on peut aussi envisager comme éléments de notre continu, non seulement des ensembles de sensations simultanées, mais des ensembles de sensations successives, des suites de sensations. Il faudra ensuite faire la convention fondamentale et
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DERNIERES PENSEES
dire quels sont les caractères communs que doivent posséder deux éléments du continu (qu'ils soient deux ensembles de sensations simultanées ou suc- cessives), pour qu'on doive les regarder comme identiques.
Ainsi, pour la définition d'un continu physique, il faut faire un double choix : 1° choisir les ensembles de sensations simultanées ou succes- sives qui doivent servir d'éléments à ce continu; 2° choisir la convention fondamentale qui définira les cas où deux éléments doivent être regardés comme identiques.
Comment faut-il faire ce double choix pour obtenir l'espace? Pouvons-nous nous contenter d'envisager un ensemble de sensations simultanées ou bien faut-il envisager une suite de sensations? Pouvons-nous, en particulier, nous contenter de la convention fondamentale la plus simple, la plus naturelle, qui consisterait à faire abstraction des données de certains sens? Non.
Une semblable abstraction est impossible, nous ne pouvons pas choisir parmi nos sens ceux qui nous donneront tout l'espace et ne nous donneront que cela; il n'en est pas un qui puisse nous donner l'espace sans le secours des autres ; il n'en est pas un non plus qui ne nous donne une foule de choses qui n'ont rien à faire avec l'espace.
Si nous analysons, par exemple, les données du
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 73
toucher proprement dit, voici ce que nous aper- cevons ; l'expérience nous montre que si l'on touche la peau avec deux pointes, la conscience distingue ces deux pointes si elles sont suffisam- ment éloignées l'une de l'autre et cesse de les distinguer si elles sont très rapprochées ; la dis- tance minimum qui permet de les discerner varie d'ailleurs suivant les régions du corps; on di d'ordinaire que la peau est divisée en départe- ments, dont chacun est le domaine d'un même nerf sensitif ; que si les deux pointes tombent dans un même déparlement, un seul nerf est ébranlé et nous ne percevons qu'une pointe; mais que nous en .percevons deux au contraire si elles tombent dans deux départements et affectent, par conséquent, deux nerfs. Cela n'est pas entière^ ment satisfaisant; nous ne retrouverions pas ainsi les caractères du continu physique; supposons que l'on déplace les deux pointes, leur distance, d'ailleurs très petite, étant maintenue constante. Cette distance étant très petite, nous aurons des chances pour qu'elles tombent dans le même déparlement et pour n'avoir qu'une perception unique; mais si nous les déplaçons petit à petit sans changer leur distance, il devra arriver un moment où l'une d'elles se trouvera hors du département et où l'autre n'en sera pas encore sortie. A ce moment on devrait sentir deux
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DERNIERES PENSEES
pointes; or ce n'est pas ce que l'on observe; nous n'obtiendrions pas ainsi la notion d'un con- tinu physique, mais celle d'un ensemble discret formé d'autant d'individus distincts qu'il y aurait de départements. 11 vaut mieux admettre que le contact d'une pointe affecte, non seulement le nerf le plus rapproché, mais aussi les nerfs voisins, et cela avec une intensité qui décroît quand la dis- tance augmente. Supposons alors que l'on com- pare les effets du contact de deux pointes; si la distance des deux pointes est faible, les mêmes nerfs sont affectés ; l'intensité de l'exci- tation d'un même nerf par l'une et par l'autre pointe sera sans doute différente, mais cette diffé- rence sera trop faible pour être discernée, d'après la règle générale de Fechner. Si un nerf est affecté par la pointe A, sans l'être par la pointe B, il ne le sera que très peu par la pointe A et l'excitation sera au-dessous du « seuil de la cons- cience ». Les effets des deux pointes seront donc indiscernables.
Nous avons là alors tout ce qu'il faut pour cons- truire un continu physique, nous n'avons qu'à promener deux pointes sur la surface de la peau et à noter les cas où notre conscience les dis- tingue. Nous avons fait abstraction (et c'est là ce que j'appelais plus haut notre convention fondamen- tale) d'une foule de circonstances, de l'intensité
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de l'ébranlement de chaque filet sensilif; de la pression plus ou moins grande exercée sur la [)eau par la pointe, de la nature du contact; toutes ces circonstances nous sont révélées par le toucher, mais nous les avons éliminées pour ne conserver que celles dont le caractère est géométrique. Avons-nous ainsi l'espace? Non; d'abord le con- tinu ainsi construit n'a que deux dimensions, comme la surface de la peau elle-même; ensuite nous savons bien que notre peau est mobile, qu'un même point de la peau ne correspond pas toujours à un même point de l'espace; que la dis- tance de deux points de notre peau varie quand notre corps se déforme. C'est sans doute ainsi que les mollusques conçoivent l'espace, mais cela n'a aucun rapport avec le nôtre.
Pour la vue, c'est la même chose; deux fais- ceaux de lumière frappant deux points de la rétine, nous donneront l'impression de deux taches lumineuses ou d'une seule, selon que ces deux points seront plus ou moins distants. Nous avons l'équivalent de nos deux pointes de tout à l'heure; nous pouvons nous en servir pour cons- truire un continu physique en faisant abstraction de la couleur et de l'intensité de la lumière; ce continu physique aura deux dimensions comme la surface de la rétine. On introduira la troisième dimension en faisant intervenir la convergence des
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yeux dans la vision binoculaire, et voilà ce que l'on a appelé l'espace visuel. 11 est supérieur à l'espace tactile, d'abord parce qu'avec un peu de bonne volonté, on peut lui donner trois dimensions, et ensuite parce que la rétine est mobile sans doute, mais à la façon d'un corps solide, tandis que la peau peut se plier dans tous les sens. On est alors tenté de dire que c'est là le vrai espace où nous cherchons à localiser toutes nos autres sensa- tions. Cela ne va pas encore; non seulement l'œil est mobile, de sorte que, à un même point de la rétine, à un même degré de convergence des yeux, ne correspond pas toujours un même point de l'espace; mais on n'explique pas pourquoi on a introduit une troisième dimension, si mani- festement hétérogène aux deux autres, ni pour- quoi la géométrie des aveugles est la même que la nôtre.
Si l'on veut combiner l'espace visuel avec l'es- pace tactile, on va avoir 5 di^îensions, au lieu de 3 ou de 2 ; et il restera à expliquer par quel processus ces 5 dimensions se réduisent à 3; et le nombre des dimensions sera encore accru si l'on veut faire entrer d'autres sens dans la combi- naison.
Il reste à expliquer en un mot pourquoi l'espace tactile et l'espace visuel sont un seul et même espace.
POunQuoi l'esi'ace a trois dimensions 77
§ 4. — L'ESPACE ET LES MOUVEMENTS
Il semble donc qu'on ne puisse construire l'es- pace en envisageant des ensembles de sensations simultanées, qu'il faut considérer des suites de sensations. Il faut toujours en revenir à ce que j'ai dit autrefois. Pourquoi certains changements nous apparaissent-ils comme des changements de position et d'autres comme des changements d'état sans caractère géométrique? Pour cela nous devons distinguer d'abord les changements externes qui sont involontaires et ne sont pas accompagnés de sensations musculaires et les changements internes qui sont les mouvements de notre corps et que nous distinguons des autres parce qu'ils sont volontaires et accompagnés de sensations musculaires. Un changement externe peut être corrigé par un chargement interne, par exemple quand npus suivons de l'œil un objet mobile de façon à ramener toujours son image en un même point de la rétine. Un changement externe suscep- tible d'une semblable correction est un change- ment de position ; s'il n'en est pas susceptible, il est un changement d'état.
Deux changements externes, qui au point de vue qualitatif sont tout à fait différents, sont regardés comme correspondant à un même changement de position s'ils peuvent être corrigés par un même
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DERMERES PENSEES
changement interne. De même deux changements internes peuvent être constitués par des suites de sensations musculaires qui n'ont rien de commun et pourtant correspondre à un même changement de position, s'ils peuvent corriger un même chan- gement externe. C'est ce que nous exprimons dans le langage ordinaire en disant qu'il y a plusieurs chemins pour aller d'un point à un autre.
Ce qui importe alors, ce sont les mouvements qu'il faut faire pour atteindre un objet déterminé, la conscience de ces mouvements n'étant pas autre chose pour nous que l'ensemble des sensations musculaires qui les accompagnent.
• Cela posé, un certain objet se trouve au contact d'un de mes doigts, par exemple de l'index de la main droite; j'éprouve de ce fait une sensation tactile ï ; je reçois en même temps de cet objet les sensations visuelles V; l'objet s'éloigne, la sensation T s'évanouit, les sensations V sont rem- placées par les sensations visuelles nouvelles V; c'est là un changement externe. Je veux corriger en partie ce changement externe en rétablissant la sensation T, c'est-à-dire ramener mon index au contact de l'objet. Pour cela je dois exécuter cer- tains mouvements qui se traduisent pour moi par une certaine suite de sensations musculaires S ; cela je le sais, parce que de nombreuses expé- riences faites, soit par moi-même, soit par mes
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 79
ancêtres, m'ont appris que quand la sensation T disparaissait, et que les sensations visuelles pas- saient de V à V, on pouvait rétablir la sensation T par les mouvements correspondant à la suite S. Je sais également que j'aurais pu obtenir le même résultat par d'autres mouvements se traduisan pour moi, non plus par la suite S, mais par une autre suite S' ou S".
Toutes ces suites de sensations musculaires S, S', S",... n'ont peut-être aucun élément commun, je les rapproche parce que je sais que les unes et les autres me permettent de rétablir la sensation T toutes les fois que les sensations V sont devenues V. Dans notre langage habituel, à nous qui savons déjà la géométrie, nous dirons que les diverses suites de mouvements qui correspondent aux suites de sensations musculaires S, S', S", ont ceci de com- mun que, dans les unes comme dans les autres, la position iniliale, ainsi que la position finale de mon index reste la même. Tout le reste peut dif- férer.
Je suis ainsi conduit à ne pas distinguer ces diverses suites S, S', S'..., à les regarder comme un individu unique. Je n'en distinguerai pas non plus les suites de sensations musculaires qui en diffèrent trop peu. J'aurai alors de quoi oonstruire un continu physique et j'ai, en effet, choisi les élé- ments de ce continu qui sont des suites de sensa
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DERNIÈRES PENSEES
lions musculaires et je possède la « convention fondamentale » qui m'apprend dans quels cas deux de ces éléments doivent être regardés comme iden- tiques et c'est ce continv qui a trois dimensions.
Mais ce n'est pas tout, nous venons de définir ua continu qui est un véritable espace; c'est l'espace considéré comme décrit par un de mes doigts ; mais j'ai plusieurs doigts (et au point de vue qui m'occupe, tous les points de ma peau pourraient me servir de doigts). Mes différents doigts vont-ils décrire le même espace? Oui, sans doute, mais qu'est-ce que cela veut dire ? Cela implique un ensemble de propriétés qu'il ne serait pas aisé d'énoncer dans le langage ordinaire, mais que je puis tenter d'expliquer si on veut bien me permet- tre d'employer certains symboles. Je considère deux doigts que j'appellerai a Qt^; le doigt a sera, par exemple, l'index de la main droite dont nous nous sommes servis pour définir les suites S, S',S"j."> nous écrirons alors :
S = S' (moda)
et cela voudra dire que si les mouvements corres- pondant à S rétablissent la sensation laclile éprou- vée par le doigt a, il en sera de même des mouve- ments correspondant à S' et inversement. J'écrirai de même
Si = S\ (modp)
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 81
pour exprimer que si les mouvements correspon- dant à S^ rétablissent la sensation tactile éprouvée par le doigt {i, il en sera de même des mouvements correspondant à S'^.
Cela posé, je suppose qu'il existe deux suites particulières de sensations musculaires s et s^ qui seront définies de la façon suivante : je suppose que le doigt |3 éprouve une sensation tactile due au contact d'un objet ; faisons les mouvements cor- respondant à s, cette sensation disparaîtra, mais, finalement, ce sera le doigt a qui éprouvera une sensation de contact; je sais par expérience que cela arrivera toutes les fois qu'avant ces mouve- ments, le doigt (i sentait un contact; ou du moins presque toutes les fois (je dis presque, parce que cela exige pour réussir que l'objet n'ait pas bougé dans l'intervalle) .dans notre langage ordinaire (qui serait plus clair pour nous, mais que je n'ose pas employer puisque je parle d'êtres qui ne savent pas encore la géométrie), nous dirions que les mouvements correspondant à s ont amené le doigt a à la place primitivement occupée par le doigt p. Pour 5^, ce sera le contraire, les mouvements cor- respondants amènent le doigt p à la place primiliv£!- ment occupée par le doigt a.
Si ces deux suites s et s^ existent, la relation
S=S' (mod a
S2 DERNIÈRES PENSÉES
entraînera comme conséquence la relation :
5 + S + 5^=s + S' + ^, (mod p)
e'est ce dont on se convainc immédiatement si l'on se rappelle le sens de ces symboles et on en dédui- rait sans peine que les deux espaces, engendrés par a et par 3, sont isomorphes et, en particulier, qu'ils ont le même nombre de dimensions.
Il n'en serait plus de même si les suites s et s^ n'existaient pas. Supposons, en effet, qu'on ne puisse trouver une suite de mouvements telle qu'à une sensation de contact du doigt p avec un objet, elle fasse succéder une sensation de contact du doigt a avec ce même objet, et cela sinon à coup sûr, du moins presque à coup sûr, comment alors raisonnerions-nous ? Nous dirions que le doigt |l sent l'objet sans être au même point de l'espace, qu'il le sent à distance ; autrement, toutes les fois que le doigt p sentirait l'objet, c'est qu'if serait en un même point A de l'espace ; alors il devrait y avoir une suite de mouvements qui amèneraient le doigta au point A ; et comme l'objet est au point A, le doigt a devrait sentir l'objet et cela devrait réussir toujours. Si nous supposons donc qu'il n'y ait pas •de suite de mouvements jouissant de cette propriété, il faut admettre que le doigt S sent le contact à dis- tance, c'est-à-dire que le fait d'être senti par ce •doigt ne suffit pas pour déterminer la position de
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 83
l'objet dans l'espace, c'est-à-dire enfin, que l'espace doit posséder plus de dimensions que le continu physique engendré par le doigt p de la façon que nous avons dite.
Je suppose par exemple que l'espace ait quatre dimensions, et je désigne par x, y, z, t les quatre coordonnées ; je suppose que le doigt |3 ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coor- données X, y, z sont les mêmes pour le doigt et l'objet, quelle que soit d'ailleurs la quatrième coor- donnée ; et d'autre part que le doigt a ressente le contact de l'objet, toutes les fois que les 3 coor- données X, y, t sont les mêmes pour l'objet et ce doigt, quelle que soit d'ailleurs la coordonnée z. Dans ces conditions, appliquons nos règles pour la cons- truction du continu physique engendré par p ; nous lui trouverons 3 dimensions seulement, qui corres- pondront aux trois coordonnées x, y, z, la coor- donnée / nejouant aucun rôle. De même le continu physique engendré par a aurait 3 dimensions cor- respondant à X, y et t. Mais nous ne pourrions trouver une suite de mouvements correspondant à une suite de sensations musculaires s, telle que la sensation de conlact pour a succède, à coup sûr, à la sensatioi! de contact pour p.
Soient en ellVl, x^, j/^, z^, fj les coordonnées de l'objet, Xq, (/(,, :^, <Q celles du doigt p avant le mou- vement ; x-'q, y'o, z'q, I'q celles du doigt « après le
84 DERNIÈRES PENSÉES
mouvement. Nous exprimerons que le doigt 'i ressent le contact avant le mouvement en écri- vant :
(1) XQ=x^,yQ=y^,ZQ = z^.
nous exprimerons que a ressent le contact après le mouvement en écrivant :
Pour que 5 existât, il faudrait que nous puissions choisir a-Q, yo, Zq, t^ ; x'^, y'^, z'^, I'q de telle façon que les relations (1) entraînassent les relations (2) quelles que fussent d'ailleurs x^, i/,, :,, t^. Il est clair que cela est impossible. C'est précisément l'impossibilité de former s qui nous révélerait en pareil cas que l'espace aurait 4 dimensions et non pas 3 comme le continu physique engendré par [5.
Et d'ailleurs nous observons effectivement quel- que chose d'analogue si nous faisons intervenir le sens de la vue. Considérons un point de la rétine, nous pouvons lui faire jouer le même rôle qu'à nos doigts a ou p. Nous pouvons considérer la suite de mouvements nécessaires pour ramener l'image d'un objet en ce point y de la rétine, ou la suite corres- pondante S de sensations musculaires ; nous pouvons nous servir de cette suite pour définir un continu physique analogue à celui qui était engendré par « ou par p. Ce continu n'aura que deux dimensions.
pounyuoi l espace a trois dimensions
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Mais nous ne pouvons construire une suite analo- gue as, c'est-à-dire une suite de mouvements faisant succéder à coup sûr, à la sensation visuelle ressentie au point yla sensation tactile ressentie surle doigt a. En d'autres termes, il ne suffit pas que nous cons- tations que l'image de l'objet se fait en y, pour que nous puissions déterminer les mouvements néces^ saires pour amener notre doigt au contact de cet objet; il nous manque une donnée qui est la dis^ tance de l'objet. Et c'est pourquoi nous disons que la vue s'exerce à distance, et que l'espace a trois dimensions, une de plus que le continu engendré par y.
Nous voyons par ce rapide exposé quels sont les faits expérimentaux qui nous ont conduits à attri- buer trois dimensions à l'espace. En présence de ces faits, il nous était plus commode de lui en attribuer trois que quatre ou que deux; mais ce mot de commode n'est peut-être pas ici assez fort; un être qui aurait attribué à l'espace deux ou quatre dimensions se serait trouvé dans un monde fait comme le nôtre, en état d'infériorité dans la lutte pour la vie; qu'est-ce à dire en effet? qu'on me permette de reprendre mes symboles et, par exemple, les congruences
S = S'(moda)
dont j'ai expliqué plus haut le sens. Attribuer deux
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86 DEBMÈRES PENSÉES
dimensions à l'espace, ce serait admettre de pareilles congruences que, nous autres, nous n'admettons pas; on serait alors exposé à substituer aux mou- vements S qui réussissent les mouvements S' qui ne réussiraient pas. Lui attribuer quatre dimen- sions, ce serait, au contraire, rejeter des con- gruences, que nous autres, admettons ; on se priverait alors de la possibilité de substituer aux mouvements S d'autres mouvements S' qui réus- siraient tout aussi bien et qui pourraient présen- ter, dans certaines circonstances, des avantages particuliers.
§ 5. — L'ESPACE ET LA NATURE
Mais la question peut être posée à un tout autre point de vue. Nous nous sommes placés jusqu'ici à un point de vue purement subjectif, purement psychologique ou, si l'on veut, physiologique ; nous n'avons envisagé que les rapports de l'espace avec nos sens. On pourrait se placer, au contraire, au point de vue de la physique et se demander s'il serait possible de localiser les phénomènes naturels dans un espace autre que le nôtre et, par exemple, dans un espace à deux ou à quatre dimensions. Les- lois que nous révèle la physique s'expriment par des équations différentielles, et dans ces équations figurent les trois coordonnées de certains points matériels. Est-il impossible d'exprimer les mêmes
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 87
lois par d'autres équations où figureraient, cette fois, d'autres points matériels ayant quatre coor- données? Ou bien cela serait-il possible, mais les équations ainsi obtenues seraient-elles moins sim- ples ? Ou bien enfin, seraient-elles tout aussi sim- ples et les rejetterions-nous simplement parce qu'elles choquent nos habitudes d'esprit?
Que voulons-nous dire quand nous parlons d'ex- primer les mêmes lois par d'autres équations? Sup- posons f^eux mondes M et M'; nous pouvons établir entre les phénomènes qui se passent ou qui pour- raient se passer dans ces deux mondes, une corres- pondance telle qu'à tout phénomène <I> du premier corresponde un phénomène parfaitement déter- miné <î>' de l'autre qui en soit pour ainsi dire l'image. Alors, si je suppose que l'effet nécessaire du phé- nomène <î>, en vertu des lois qui régissent le monde M soit un certain phénomène <I>j, et que l'effet néces- saire du phénomène $', image de <I>, en vertu des lois qui régissent le monde M', soit précisément l'image ^\, du phénomène ^^, nous pourrons dire que les deux mondes obéissent aux mêmes lois. Peu nous importe la nature qualitative des phé- nomènes $ et $', il nous suffit que le « parallélisme » soit possible.
Et, en effet, cette nature qualitative des phéno- mènes n'intéresse que nos sens, et nous sommes convenus de nous placer à un point de vue extra-
88 DEHNIÈRES PENSÉES
psychologique, de faire abstraction, par conséquent, des données des sens et de ne faire attention qu'aux rapports mutuels des phénomènes. C'est là, en effet, ce que fait le physicien quand il substitue, par exemple, aux gaz que nous révèle l'expérience, et qui nous procurent des sensations de pression et de chaleur, les gaz de la théorie cinétique, où l'on ne voit plus que des points matériels en mouvement, ou bien à la lumière de l'expérience, et aux sensa- tions colorées qu'elle engendre, les vibrations du milieu éthéré.
Il nous suffira de considérer un cas simple, celui des phénomènes astronomiques et de la loi de Newton. Ce que nous observons, ce ne sont pas les coordonnées des astres, mais seulement leurs distances; l'expression naturelle des lois de leurs mouvements, ce sont donc des équations différen- tielles entre ces distances et le temps. Maintenant la distance de deux points de l'espace est une fonc- tion connue et simple des coordonnées, de ces deux points. Transformons nos équations différentielles en y substituant cette fonction à la place de chaque distance; nous aurons alors ces équations sous leur forme habituelle, forme où figurent les coor- données mêmes des astres.
Mais nous aurions pu remplacer ces distances par d'autres fonctions et nous aurions obtenu ainsi d'autres formes de ces équations ; toutes ces formes
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 89
auraient été également légitimes au point de vue qui nous occupe, puisqu'elles auraient respecté le « parallélisme » entre les phénomènes. Représen- tons-nous les astres comme placés dans l'espace à quatre dimensions de telle façon que la position de chacun d'eux soit définie, non plus par trois, mais par quatre coordonnées ; remplaçons ensuite dans nos équations la quantité que nous considérions jusqu'ici comme représentant la distance de deux astres par une fonction quelconque des huit coor- données de ces deux astres ; il n'est nullement nécessaire que cette fonction soit celle qui repré- sente la distance de deux points dans l'espace ordi- naire à quatre dimensions ; elle peut être tout à fait quelconque puisque le « parallélisme » n'en sera pas altéré.
Nous obtiendrons ainsi une forme de nos équa- tions où figureront les coordonnées des astres dans l'espace à quatre dimensions ; ce sera une expres- sion nouvelle des lois astronomiques fondée sur l'hypothèse d'un espace à quatre dimensions et cette expression ne sera pas illégitime puisque la condition de « parallélisme » est respectée. Seule- ment, il est clair que les équations ainsi obtenues seront beaucoup moins simples que nos équations habituelles.
Et il en serait sans doute de même avec les lois de la Physique. Y a-t-il une raison générale
8.
90
DEnMERES PENSEES
pour qu'il en soit ainsi, pour que dans toutes les parties de la Physique, ce soit l'hypothèse des trois dimensions qui donne aux équations leur forme la plus simple? Cette raison a-t-elle quelque rapport avec celle qui a été développée dans la première partie de ce travail et qui obligeait impérieusement les êtres vivants à croire aux trois dimensions ou à faire comme s'ils y croyaient sous peine d'infé- riorité dans la lutte pour la vie?
Ici, une courte digression est nécessaire. Reve- nons, pour un instant, à notre vieil espace ordi- naire. Nous disons qu'il est relatif et cela veut dire que les lois de la Physique sont les mêmes dans toutes les parties de cet espace, ou dans le langage mathématique, que les équations différen- tielles qui expriment ces lois ne dépendent pas du choix des axes de coordonnées.
Si on considère un système parfaitement isolé, cela n'a aucun sens, on ne pourra observer les coordonnées des points de ce système, mais seule- ment leurs distances mutuelles, l'observation ne pourra pas nous apprendre si les propriétés de ce système dépendent de la position absolue du sys- tème dans l'espace, puisque cette position est inob- servable.
Si le système n'est pas isolé, cela ne marchera pas non plus (si l'on veut raisonner en toute rigueur) , puisqu'il deviendra impossible d'exprimer les lois
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 91
qui régissent ce système, sans tenir compte de l'action des corps extérieurs. Mais il y a des sys- tèmes à peu près isolés, environnés de corps assez rapprochés pour qu'on puisse les voir, trop éloignés pour que leur action soit sensible ; c'est ce qui arrive pour notre monde terrestre vis-à-vis des étoiles. Nous pouvons alors énoncer les lois de ce monde terrestre comme si les étoiles n'existaient '. pas, et pourtant rapporter ce monde à un système 1 d'axes de coordonnées parfaitement défini et inva- ' riablement lié à ces étoiles. L'expérience nous montre alors que le choix de ces axes n'intervient pas, que les équations ne sont pas altérées quand on fait un changement d'axes. L'ensemble des j changements d'axes possibles forme, comme on i' le sait, un groupe à six dimensions.
Renonçons maintenant à noire espace ordinaire, remplaçons nos équations par d'autres qui seront équivalentes, en ce sens qu'elles respecteront le « parallélisme » des phénomènes. Toutes les fois que nous aurons affaire à un système à peu près isolé, il y aura un fait extrêmement général, une . propriété d'invariance qui subsistera ; il y aura un ; groupe de transformations qui n'altérera pas les ' équations; ces transformations n'auront plus la signification d'un changement d'axes, leur signifi- cation pourra être quelconque, mais le groupe formé par ces transformations Hpvra toujours rester
92 DERNIÈRES PENSEES
isomorphe au groupe à six dimensions dont nous venons de parler; sans (luoi il n'i- aurait plus de parallélisme.
Et c'est parce que ce groupe joue dans tous les cas un rôle important, parce qu'il est isomorphe au groupe des changements d'axes dans l'espace ordi- naire, parce qu'il est ainsi étroitement apparenté à notre espace à trois dimensions, c'est pour cette raison que nos équations prendront leur forme la plus simple quand on mettra ce groupe en évidence de la façon la plus naturelle, c'est-à-dire en intro- duisant un espace à trois dimensions.
Et comme ce groupe est isomorphe lui-même à celui des déplacements de chacun de nos membres regardé comme un corps solide, comme cette propriété des corps solides de se mouvoir en obéis- sant aux lois de ce groupe, n'est, en dernière ana- lyse, qu'un cas particulier de cette propriété d'invariance sur laquelle je viens d'attirer l'attention, on voit qu'il n'y a pas de différence essentielle entre la raison physique qui nous porte à attribuer à l'espace trois dimensions, et les raisons psycho- logiques développées dans les premiers para- graphes de ce chapitre.
§ 6. — L'ANALYSIS SITUS ET L'INTUITION
Je voudrais ajouter une remarque qui ne se rap- porte qu'indirectement à ce qui précède; nous
POURQUOI L ESPACE A TROIS DIMENSIONS 93
avons vu plus haut quelle est l'importance de l'Ana- lysis situs et j'ai expliqué que c'est là le véritable domaine de l'intuition géométrique. Cette intuition existe-t-elle? je rappellerai qu'on a essayé de s'en passer et que M, Hilbert a cherché à fonder une géo- métrie qu'on a appelée rationnelle parce qu'elle est affranchie de tout appel à l'intuition. Elle repose sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats qui sont regardés, non comme des vérités intuitives, mais comme des définitions déguisées. Ces axiomes sont répartis en cinq groupes. Pour quatre de ces groupes, j'ai eu l'occasion de dire dans quelle mesure il est légitime de les regarder comme ne renfermant que des définitions déguisées.
Je voudrais insister ici sur un de ces groupes, le deuxième, celui des « axiomes de l'ordre ». Pour bien faire comprendre de quoi il s'agit, j'en citerai un. Si sur une ligne quelconque le point G est entre A et B, et le point D entre A et C, le point D sera entre A et B. Pour M. Hilbert, il n'y a pas là une vérité intuitive, nous convenons de dire que dans certains cas C est entre A et B, mais nous ne savons pas ce que cela veut dire, pas plus que nous ne savons ce que c'est qu'un point ou qu'une ligne. Nous pourrons, d'après nos conven- tions, employer cette expression entre pour dési- gner une relation quelconque entre trois points, pourvu que celte relation satisfasse aux axiomes
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DERNIERES PENSEES
de l'ordre. Ces axiomes nous apparaissent ainsi comme la définition du mot entre.
On peut alors se servir de ces axiomes, à la condition d'avoir démontré qu'ils ne sont pas contradictoires, et on pourra construire sur eux une géométrie où l'on n'aura pas besoin de figures et qui pourrait être comprise d'un homme qui n'aurait ni vue, ni toucher, ni sens musculaire, ni aucun sens, et qui serait réduit à un pur entende- ment.
Oui, cet homme comprendrait peut-être, en ce sens qu'il verrait bien que les propositions se dé- duisent logiquement les unes des autres ; mais l'assemblage de ces propositions lui paraîtrait arti- ficiel et baroque et il ne verrait pas pourquoi on l'aurait préféré à une foule d'autres assemblages possibles.
Si nous n'éprouvons pas les mêmes étonnements, c'est que les axiomes ne sont pas, en réalité, pour nous de simples définitions, des conventions arbi- traires, mais bien des conventions justifiées. Pour les axiomes des autres groupes, je tiens qu'elles sont justifiées parce que ce sont celles qui s'ac- cordent le mieux avec certains faits expérimentaux qui nous sont familiers et qu'elles nous sont, par là, les plus commodes ; pour les axiomes de l'ordre, il me semble qu'il y a quelque chose de plus, que ce sont de véritables propositions intui-
POURQUOI l'espace A TROIS DIMENSIONS 95
tives, se rattachant à l'Analysis situs ; nous voyons que le fait pour un point C d'être enlre deux autres points d'une ligne, se rattache à la façon de découper un continu à une dimension à l'aide de coupures formées de points infranchissables. Mais alors une question se pose; ces vérités,
'j telles que les axiomes de l'ordre, nous sont révélées par l'intuition; mais s'agit-il de l'intuition de l'es- pace lui-même, ou de l'intuition du continu mathé- matique ou physique en général? Ce qui pourrait faire pencher vers la première solution, c'est que nous raisonnons facilement sur l'espace et beau- coup plus difficilement sur des continus plus com- pliqués, sur des continus à plus de trois dimensions non susceptibles d'être représentés dans l'espace. Et si cette première solution était adoptée, toute cette discussion deviendrait inutile; nous attribuerions à l'espace trois dimensions tout sim- plement parce que le continu à trois dimensions
j serait le seul dont nous aurions une intuition nette.
Mais il y a une Analysis situs à plus de trois dimensions; je ne dis pas que ce soit une science facile, j'y ai consacré trop d'efforts pour ne pas m'être rendu compte des difficultés qu'on y ren- contre; mais enfin cette science est possible et elle ne repose pas exclusivement sur l'analyse; on ne saurait la cultiver avec fruit sans de continuels
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DERNIERES PENSEES
appels à l'intuition. Il y a donc bien une intuition des continus à plus de trois dimensions et si elle exige une attention plus soutenue que l'intui- tion géométrique ordinaire, c'est sans doute une affaire d'habitude, et aussi l'effet de la complication rapidement croissante des propriétés des continus quand augmente le nombre des dimensions. Ne voyons-nous pas dans les Lycées des élèves qui sont forts en géométrie plane et qui « ne voient pas dans l'espace »? Ce n'est pas que l'intuition de l'espace à trois dimensions leur fasse défaut, mais ils n'ont pas l'habitude de s'en servir et il leur faut pour cela un effort. Et d'ailleurs, pour nous représenter une figure dans l'espace, ne nous arrive-t-il pas à tous de nous représenter successi- vement les diverses perspectives possibles de cette figure?
_Je^onclurai que nous avons tous en nous l'in- tuition du continu d'un nombre quelconque de^ dimensions, parce que nous avons la faculté de construire un continu physique et mathématique^ que cette faculté préexiste en nous à toute expé- rience parce que san.» «Ile, l'expérience propre- ment dite serait impossible et se réduirait à des sensations brutes, impropres à toute organisation^^ que cette intuition n'est que la conscience que nous avons de cette faculté. Cependant cette faculté pourrait s'exercer dans des sens divers;
pounQuoi l'espace a trois dimensions 97
elle pourrait nous permettre de construire un espace à quatre, tout aussi bien qu'un espace à trois dimensions. C'est le monde extérieur, c'est l'expérience qui nous détermine à l'exercer dans un sens plutôt que dans l'autre.
CHAPITRE IV
LA LOGIQUE DE LINFINI
CHAPITRE IV LA LOGIQUE DE L'INFINI
§ 1". — CE QUE DOIT ÊTRE UNE CLASSIFICATION
Les règles ordinaires de la logique peuvent-elles être appUiiuées sans changement, dès que l'on con- sidère des collecLions comprenant un nombre infini d'objets? C'est là une question qu'on ne s'était pas posée d'abord, mais qu'on a été amené à examiner quand les mathématiciens qui se sont fait une spé- cialité de l'étude de l'infini se sont tout à coup heurtés à de certaines contradictions au moins apparentes. Ces contradictions proviennent-elles de ce que les règles de la logique ont été mal appli- quées, ou de ce qu'elles cessent d'être valables en dehors de leur domaine propre, qui est celui des collections formées seulement d'un nombre fini d'objets? Je crois qu'il ne sera pas inutile de dire ici quelques mots à ce sujet, et de donner aux lecteurs une idée des débats auxquels ce problème a donné lieu.
9.
102 nERNiÈRES PENSÉES
La logique formelle n'est autre chose que l'étude des propriétés communes à toute classification; elle nous apprend que deux soldats qui font partie du même régiment appartiennent par cela même à la même brigade, et par conséquent à la même division, et c'est à cela que se réduit toute la théorie du syllogisme. Quelle est alors la condition pour que les règles de cette logique soient valables? C'est que la classification adoptée soit immuable. Nous apprenons que deux soldats font partie du même régiment, et nous voulons en conclure qu'ils font partie de la même brigade; nous en avons le droit pourvu que pendant le temps que nous met- tons à faire notre raisonnement, l'un des deux hommes n'o,it pas été transféré d'un régiment dans un autre.
Les antinomies qui ont été signalées proviennent toutes de l'oubli de cette condition si simple: on s'est appuyé sur une classification qui n'était pas immuable et qui ne pouvait pas l'être; on a bien pris la précaution de la p7'oc/am<?r immuable; mais cette précaution était insuffisante; il fallait la rendre effectivement immuable et il y a des cas où cela n'est pas possible.
Qu'on me permette de reprendre un exemple cité par M. Russell. C'était contre moi d'ailleurs qu'il l'invoquait. Il voulait prouver que les difficultés ne provenaient pas de l'introduction de l'infini actuel,
LA LOGIQUE DE l'iNFINI 103
puisqu'elles peuvent se présenter même quand on ne considère que des nombres finis. Je reviendrai plus loin sur ce point, mais ce n'est pas de cela qu'il s'agit pour le moment et je choisis cet exemple parce qu'il est amusant et qu'il met bien en évi- dence le fait que je viens de signaler.
Quel est le i>lus petit nombre entier qui ne peut pas être défini par une phrase de moins de cent mots français? Et d'abord ce nombre existe-t-il?
Oui, car avec cent mots français, on ne peut construire qu'un nombre fini de phrases, puisque le nombre des mots du dictionnaire français est limité. Parmi ces phrases, il y en aura qui n'auront aucun sens ou qui ne définiront aucun nombre entier. Mais chacune d'elles pourra définir au plus un seul nombre entier. Le nombre des entiers sus- ceptibles d'être définis de la sorte est donc limité ; par conséquent, il y a certainement des entiers qui ne peuvent l'être ; et parmi ces entiers, il y en a certainement un qui est plus petit que tous^ les autres.
Aon; car si^cet entier existait, son existence im- pliquerait contradiction, puisqu'il se trouverait définj^parjinejphrase de moins de cent mots fran- çais, à savoir par la phrase même qui affirme qu'il / nej)eut pas l'être.
Ce raisonnement repose sur une classification des ombres entiers en deux catégories, ceux qui
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DERNIERES PENSEES
peuvent être définis par une phrase de moins de cent mots français et ceux qui ne peuvent pas l'être. En posant la question, nous proclamons implici- tement que cette.classification est immuable et que nous ne commençons à raisonner qu'après l'avoir établie définitivement. Mais cela n'est pas possible. La classification ne pourra être définitive que lorsque nous aurons passé en revue toutes les phrases de moins de cent mots, que nous aurons rejeté celles qui n'ont pas de sens, et que nous aurons fixé définitivement le sens de celles qui en ont un. Mais pai^ni c^s phrases, il y en a qui ne peuvent avoir de sens qu'après que la classification |est arrêtée, ce sont celles où il estquestion de cette li classification elle-même. En résumé ia classification fi des nombres ne peut être arrêtée qu^après que le ! triage des phrases est achevé, et^ejnage ne peut ,1 être achevé qu'après que la classification est arrêtée, de sorte que ni la classification, ni_Ia-triage ne_ pourront yamais^tre^ terminé s.
Ces difficultés se rencontreront beaucoup plus sou- vent encore quand il s'agira de collections infinies. Supposons que l'on veuille classer les cléments de l'une de ces collections et que le principe de la classification repose sur quelque relation de l'élé- ; ment à classer avec la collection tout entière. Une semblable classification pourra-t-elle jamais être conçue comme arrêtée? Il n'y a pas d'infini actuel,
LA LOGIyUE DE l'iNFINI 105
et quand nous parlons d'une collection infinie, nous voulons dire une collection à laquelle on peut sans cesse ajouter de nouveaux éléments (semblable à une liste de souscription qui ne serait jamais close dans l'attente de nouveaux souscripteurs). Or la clas- sification ne pourrait justement être arrêtée que quand cette liste serait close; toutes les fois qu'on ajoute à la collection de nouveaux éléments, on modifie cette collection; on peut donc modifier la relation de cette collection avec les éléments déjà classés ; et comme c'est d'après cette relation que ces éléments ont été rangés dans tel ou tel tiroir, il peut arriver qu'une fois cette relation modifiée, ces éléments ne soient plus dans le bon tiroir et qu'on soit obligé de les déplacer. Tant qu'on a de nouveaux éléments à introduire, on doit craindre d'avoir à recommencer tout ^on travail; or il n'arri- vera jamais qu'on n'ait plus de nouveaux éléments à introduire ; la classification ne sera donc jamais arrêtée.
De là une distinction entre deux espèces de clas- sifications, applicables aux éléments des collec- tions infinies; les classifications prédicatives, qui | ne peuvent être bouleversées par l'introduction de nouveaux éléments; les classifications non prédica- i tives que l'introduction des éléments nouveaux | oblige à remanier sans cesse.
Supposons par exemple que l'on classe les
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nombres entiers en deux familles suivant leur gran- deur. On peut reconnaître si un nombre est plus grand ou plus petit que 10 sans avoir à envisager les relations de ce nombre avec l'ensemble des autres nombres entiers. Quand on aura défini, je suppose, les 100 premiers nombres, on saura quel? sont ceux d'entre eux qui sont plus petits et ceux qui sont plus grands que 10; quand on introduira ensuite le nombre 101, ou un quelconque des nombres suivants, ceux des 100 premiers entiers qui étaient plus petits que 10 resteront plus petits que 10, ceux qui étaient plus grands resteront plus grands; la classification est prédicative.
Imaginons au contraire qu'on veuille classer les points de l'espace et que l'on dislingue ceux qui peuvent être définis en un nombre finj_de.jnotj et ceu^Mquijie le peuvent pas. Parmi les phrases pos- sibles, il y en aura qui feront allusion à lajcollec- tion tout entière, c'est-à-dire à l'espace, ou à des parties de l'espace. Quand nous introduirons de nouveaux points dans l'espace, c^ phrases chan- geront de sens, elles ne définiront plus le même point; ou bien elles perdront toute espèce de sens; ou encore elles acquerront un sens alors qu'elles n'en avaient pas auparavant. Et alors des points qu* n'étaient pas définissables deviendront susceptibles d'être définis; d'autres qui l'étaient cesseront de l'être. Ils devront passer d'une catégorie dans une
LA LOGIQUE DE l'iNFINI 107
autre. La classification ne sera pas prédicative. 11 y a de bons esprits qui considèrent que les seuls objets dont il est permis de raisonner sont peux qui peuvent être définis en un nombre fini de mots, et j'aurais d'autant plus mauvaise grâce à ne pas les regarder comme de bons esprits, que je vais bientôt moi-même défendre leur opinion. On peut ^l^^-''' donc trouver que l'exemple précédent est mal U-j" i^^' choisi, mais il est aisé de le modifier. ''"" '^''^"'
Pour classer les nombres entiers, ou les points de l'espace, je considérerai la phrase qui définit chaque nombre entier, ou chaque point. Gomme il peut arriver qu'un même nombre ou un même point puisse être défini par plusieurs phrases, je rangerai ces phrases dans l'ordre alphabétique et
] je choisirai la première d'entre elles. Gela posé, cette phrase finira par une voyelle ou par une con-
j sonne, et on pourrait faire la classification d'après ce critère. Mais cette classification ne serait pas prédicative ; par l'introduction de nouveaux entiers, ou de nouveaux^points, des phrases gui n'avaient aucun sens pourront en acquérir un. Et alors au tableau des phrases qui définissent un entier ou un point déjà introduit, il deviendra nécessaire d'ajou- ter de nouvelles phrases, qui étaient jusqu'ici dénuées de sens, qui viennent d'en acquérir un, et qui définissent précisément ce même point. 11 pourra se faire que ces phrases nouvelles prennent la
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DERNIEnES PEiNSEES
tête dans l'ordre alphabétique, et qu'elles finissent par une voyelle, tandis que les phrases anciennes finissaient par une consonne. Et alors notre entier ou notre point qui avait été provisoirement rangé dans une catégorie, devra être transféré dans l'autre.
Si au contraire nous classons les points de l'es- j pace d'après la grandeur de leurs coordonnées, si nous convenons de classer ensemble tous ceux dont 'l'abscisse est plus petite que 10, l'introduction de jnouveaux points ne changera rien à la classification ; les points déjà introduits qui répondaient à la con-- dition ne cesseront pas d'y répondre après cette introduction. La classification sera prédicative.
Ce que nous venons de dire des classifications s'applique immédiatement aux définitions. Toute définition est en effet une classification. Elle sépare les objets qui satisfont à la définition, et ceux qui n'y satisfont pas et elle les range dans deux classes distinctes. Si elle procède, comme dit l'École, pei' proximum genus et differentiam specificam, elle repose évidemment sur la subdivision du genre en espèces. Une définition comme toute classification peut donc être ou ne pas être prédicative.
Mais ici une difficulté se présente. Reprenons l'exemple précédent. Les nombres entiers appar- tiennent à la classe A ou à la classe B, suivant qu'ils sont plus petits ou plus grands que 10,5. J'ai défini
LA LOGIQUE DE L INFINI
109
certains nombres entiers a p y- j^ les ai répartis entre ces deux classes A et B. Je définis et j'intro- duis de nouveaux nombres entiers. J'ai dit que la répartition n'était pas modifiée et que par consé- quent la classification était prédicative. Mais pour que la place du nombre a dans la classification ne soit pas modifiée, il ne suffît pas que les cadres de la classification n'aient pas changé, il faut encore que le nombre a soit resté le même, c'est-à-dire que sa définition soit prédicative. De sorte qu'à un certain point de vue, on ne devrait pas dire qu'une classification est prédicative d'une façon absolue, mais qu'elle est prédicative par rapport à un mode de définition.
§ 2. — LE NOMBRE CARDINAL
On ne doit pas oublier les considérations précé- dentes quand on définit le nombre cardinal. Si nous considérons deux collections, on peut chercher à établir une loi de correspondance entre les objets de ces deux collections, de façon qu'à tout objet de la 1" corresponde un objet de la 2^ et un seul, et inversement. Si cela est possible, on dit que les deux collections ont le même nombre cardinal.
Mais, ici encore, il convient que cette loi de cor- respondance soit jprédicative. Si l'on a affaire à deux collections infinies, on ne pourra jamais concevoir ces deux collections comme épuisées. Si nous sup
10
110
DERNIERES PENSEES
posons que nous ayons pris dans la première un certain nombre d'objets, la loi de correspondance nous permettra de définir les objets correspondants de la 2*. Si nous introduisons ensuite de nouveaux objets, il pourra arriver que cette introduction change le sens de la loi de correspondance, de telle
• façon que l'objet A' de la 2* collection, qui avant cette introduction correspondait à un objet A de la 1", n'y correspondra plus après cette introduc- tion. Dans ce cas la loi de correspondance ne sera pas prédicative.
Et c'est ce que nous allons expliquer par deux exemples opposés. Je considère l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des nombres pairs. A chaque entier n je puis faire correspondre le nombre pair 2n. Quand j'introduirai de nouveaux entiers, ce sera toujours le même nombre 2n qui correspondra à n. La loi de correspondance est
1 prédicative, et il en est de même de toutes celle* qu'envisage Cantor pour démontrer par exemple que le nombre cardinal des nombres rationnels est égal à celui des nombres entiers, ou celui des points de l'espace à celui des points d'une droite.
! Supposons au contraire que l'on compare l'en- semble des nombres entiers à celui des points de l'espace busceptibles d'être définis par_un nombre fini de mots et que j'établisse entre eux la corres- pondance suivante. Je ferai le tableau de toutes
LA LOGIQUE DE l'iNFINI 11
les phrases possibles, je les ordonnerai d'après le nombre de leurs mots, en rangeant dans l'ordre alphabétique celles qui ont le même nombre de mots. J'effacerai toutes celles qui n'ont aucun sens ou qui ne définissent aucun point, ou qui définissent un point déjà défini par l'une des phrases précé- dentes. Je ferai correspondre à «haque point la phrase qui le définit, et le numéro qu'occupe cette phrase dans le tableau ainsi émondé.
Lorsque j'introduirai de nouveaux points, il pourra arriver que des phrases qui étaient dépour- ji^ vues de sens en acquièrent un ; on devra les réta- blir dans le tableau d'où on les avait d'abord effa- cées ; et le numéro de toutes les autres phrases se trouvera modifié. Nos correspondances seront entiè- rement bouleversées ; notre loi de correspondance n'est pas prédicative.
Si l'on ne faisait pas attention à cette condition dans la comparaison des nombres cardinaux, on serait conduit à de singuliers paradoxes. Il convient donc de modifier la définition des nombres cardi- naux en spécifiant que la loi de correspondance sur laquelle cette définition se fonde doit être pré- dicative.
Toute loi de correspondance repose sur une double classification. On doit classer les objets des deux collections que l'on veut comparer; et les deux classifications doivent être parallèles ; si par
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DERNIÈRES PENSÉES
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exemple les objets de la l""* se répartissent en classes, qui se subdivisent en ordres, ceux-ci en familles, etc., il devra en être de même des objets de la 2^ A chaque classe de la l""' classiflcation devra correspondre une classe de la 2* et une seule, à chaque ordre un ordre et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive aux individus eux-mêmes. Et l'on voit alors quelle doit être la condition pour qu'une loi de correspondance soit prédicative. Il faut que les deux classifications sur lesquelles cette loi repose soient elles-mêmes prédicatives.
§ 3.— LE MÉMOIRE DE M. RUSSELL
M. Russell a publié dans VAmerican Journal of Mathematics, vol. XXX, sous le titre Mathematical logics as hased on the Theory of Types, un mémoire où il s'appuie sur des considérations tout à fait analogues à celles qui précèdent. Après avoir rap- pelé quelques-uns des paradoxes les plus célèbres chez les logiciens, il en cherche l'origine et il la trouve avec raison dans une sorte de cercle vicieux. On a été conduit à des antinomies parce qu'on a envisagé des collections, contenant des objets dans la définition desquels entre la notion do la collection elle-même. On s'est servi de défî- uilions non prédicatives ; on a confondu, dit M. Russell, les mots ail et any, ce que nous pou-
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LA LOGIQUE DE L INFINI
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vons rendre en français par les mots tous et quelconque.
Il est ainsi conduit à imaginer ce qu'il appelle la hiérarchie des types. Soit une proposition vraie d'un individu quelconque d'une classe donnée. Par un individu quelconque, nous devons entendre d'abord tous les individus de cette classe que l'on peut définir sans se servir de la notion de la propo- sition elle-même. Je les appellerai des individus quelconques du 1" ordre ; quand j'affirmerai que la proposition est vraie de tous ces individus, j'affir- merai une proposition du 1" ordre. Un individu quelconque du 2* ordre, ce sera alors un individu dans la définition duquel pourra intervenir la notion de cette proposition du 1" ordre. Si j'affirme la proposition de tous les individus du 2" ordre, j'aurai une proposition du 2' ordre. Les individus du 3^ ordre seront ceux dans la définition desquels peut intervenir la notion de cette proposition du 2^ ordre ; et ainsi de suite
Prenons l'exemple de l'Épiménide. Un menteur du 1^' ordre sera celui qui ment toujours sauf quand il dit je suis un menteur du 1" ordre; un menteur du 2* ordre sera celui qui ment toujours même quand il dit je suis un menteur du 1" ordre, mais qui ne ment plus quand il dit je suis un menteur du 2^ ordre. Et ainsi de suite. Et alors quand Epimé- nide nous dira : je suis un menteur, nous pourrons
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112 DERNIÈRES PENSÉES
exemple les objets de la 1'^* se répartissent en classes, qui se subdivisent en ordres, ceux-ci en familles, etc., il devra en être de même des objets de la 2*. A chaque classe de la l""" classification devra correspondre une classe de la 2* et une seule, à chaque ordre un ordre et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive aux individus eux-mêmes. Et l'on voit alors quelle doit être la condition pour qu'une loi de correspondance soit prédicative. Il faut que les deux classifications sur lesquelles cette loi repose soient elles-mêmes prédicatives.
§3.— LE MÉMOIRE DE M. RUSSELL
M. Russell a publié dans V American Journal of Mathernatics, vol. XXX, sous le titre Mathematical logics as hasedon the Theory of Types, un mémoire où il s'appuie sur des considérations tout à fait analogues à celles qui précèdent. Après avoir rap- pelé quelques-uns des paradoxes les plus célèbres chez les logiciens, il en cherche l'origine et il la trouve avec raison dans une sorte de cercle vicieux. On a été conduit à des antinomies parce qu'on a envisagé des collections, contenant des objets dans la définition desquels entre la notion do la collection elle-même. On s'est servi de défî- nilions non prédicatives ; on a confondu, dit M. Russell, les mots ait et any, ce que nous pou-
LA LOGIQUE DE l'iNFINI il3
vons rendre en français par les mots tous et quelconque.
Il est ainsi conduit à imaginer ce qu'il appelle la hiérarchie des types. Soit une proposition vraie d'un individu quelconque d'une classe donnée. Par un individu quelconque, nous devons entendre d'abord tous les individus de cette classe que l'on peut définir sans se servir de la notion de la propo- sition elle-même. Je les appellerai des individus quelconques du!" ordre; quand j'affirmerai que la proposition est vraie de tous ces individus, j'affir- merai une proposition du 1" ordre. Un individu quelconque du 2* ordre, ce sera alors un individu dans la définition duquel pourra intervenir la notion de cette proposition du 1" ordre. Si j'affirme la proposition de tous les individus du 2* ordre, j'aurai une proposition du 2* ordre. Les individus du 3* ordre seront ceux dans la définition desquels peut intervenir la notion de cette proposition du 2" ordre ; et ainsi de suite
Prenons l'exemple de l'Épiménide. Un menteur du 1" ordre sera celui qui ment toujours sauf quand il dit je suis un menteur du 1"" ordre; un menteur du 2* ordre sera celui qui ment toujours même quand il dit je suis un menteur du 1" ordre, mais qui ne ment plus quand il dit je suis un menteur du 2* ordre. Et ainsi de suite. Et alors quand Epimé- nide nous dira : je suis un menteur, nous pourrons
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DERNIERES PENSETiS
lui demander: de quel ordre ? Et c'est seulement après qu'il aura répondu à cette légitime question que son assertion aura un sens.
Passons à un exemple plus scientifique et envi- sageons la définition du nombre entier. On dit qu'une propriété est récurrente si elle appartient à zéro, et si elle ne peut appartenir à n sans appar- tenir à n-f-1; on dit que tous les nombres qui possèdent une propriété récurrente forment une classe récurrente. Alors un entier est par défi- nition un nombre qui possède toutes les propriétés récurrentes, c'est-à-dire qui appartient à toutes les classes récurrentes.
De cette définition peut-on conclure que la somme de deux entiers est un entier? Il semble que oui ; car si n est un nombre entier, donné, les nombres x qui sont tels que n-\-x est entier forment une classe récurrente. Le nombre x ne serait donc pas entier, si n-\- x ne l'était pas. Mais la définition de cette classe récurrente dont nous venons de parler n'est pas prédicative, car dans cette définition (qui nous apprend que n-\- x doit être entier) entre la notion de nombre entier qui présuppose la notion de toutes les classes récur- rentes.
D'où la nécessité d'employer le détour suivant : appelons classes récurrentes du 1" ordre toutes celles que l'on peut définir sans introduire la notion
LA LOGIQUE DE l'iNFINI 115
d'entier, et entiers du 1" ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 1" ordre ; appelons ensuite classes récurrentes du 2* ordre celles que l'on peut définir en introduisant au besoin la notion d'entier du i" ordre, mais sans faire intervenir la notion d'entier d'ordre supé- rieur; appelons entiers du 2^ ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 2* ordre, et ainsi de suite. Et alors ce que nous pouvons démontrer ce n'est pas que la somme de deux entiers est un entier, c'est que la somme de deux entiers d'ordre K, est un entier d'ordre K — 1.
Ces exemples suffiront, je pense, pour faire comprendre ce que M. Russell appelle la hiérar- chie des types. Mais alors se posent diverses questions sur lesquelles l'auteur ne s'est pas prononcé.
i° Dans cette hiérarchie s'introduisent sans dif- ficulté des propositions du l'^'", du 2" ordre, etc., et en général du n* ordre, n étant un nombre entier fini quelconque. Est-il possible de consi- dérer de même des propositions d'ordre a, a étant un nombre ordinal transfini? C'est ainsi que M. Kônig a imaginé une théorie qui ne diffère pas essentiellement de celle de M. Russell; il s'y sert d'une notation spéciale, il y désigne par A(NV) les objets du l*' ordre, par A(NY)2 ceux du 2* ordre, etc., NV étant le« initiales de lex-
116 DERNIÈRES PENSÉES
pression ne varietur. Quant à lui, il n'hésite pas à introduire des A(NV)« où a est transfini, sans d'ailleurs expliquer suffisamment ce qu'il entend par là.
2° Si l'on répond oui à la première question, il faudra expliquer ce qu'on entend par des objets d'ordre w, w étant l'infini ordinaire, c'est-à-dire le premier nombre ordinal transfini, ou par des .objets d'ordre a ; a étant un ordinal transfini quelconque.
3° Si au contraire on répond non à la 1" ques- tion, comment pourra-t-on fonder sur la théorie des types la distinction entre les nombres finis ou infinis, puisque cette théorie est dénuée de sens si on ne suppose cette distinction déjà faite.
4*> Plus généralement, qu'on réponde oui ou non à la 1" question, la théorie des types est f.ncompréhensible, si on ne suppose la théorie des ordinaux déjà constituée. Comment pourra-t-on fonder alors la théorie des ordinaux sur celle des types?
§4. — L'AXIOME DE RÉDUCTIBILITÉ
M. Russell introduit un axiome nouveau qu'il appelle axiom of reducibiliiy . Comme je ne suis pas sûr d'avoir parfaitement compris sa pensée, je vais lui laisser la parole. « We assume, that every function is équivalent, for ail its value to
•LA LOGIQUE DE l'iNFINI 117
some predicative function of the same argument. » Mais, pour comprendre cette assertion, il faut remonter aux définitions données au début du mémoire. Qu'est-ce qu'une fonction, et qu'est-ce qu'une fonction predicative? Si une proposition est affirmée d'un objet donné a, c'est une propo- sition particulière; si on l'affirme d'un objet indé- terminé X, c'est une fonction propositionnelle de x. La proposition sera d'un certain ordre dans la hiérarchie des types, et cet ordre ne sera pas le même quel que soit ar, puisqu'il dépendra de l'ordre dç x. La fonction sera^ alors dite predicative., si elle est d'ordre K-j-1, quand x est d'ordre K.
Après ces définitions le sens de l'axiome n'est pas encore très clair et quelques exemples ne seraient pas superflus. M. Russell n'en a pas donné, et j'hésite à en donner de mon cru, parce que je crains de trahir sa pensée, que je ne suis pas certain d'avoir entièrement saisie. Mais, sans l'avoir saisie, il y a une chose dont je ne saurais douter, c'est qu'il s'agit d'un nouvel axiome. Grâce à cet axiome, on espère pouvoir démontrer le prin- cipe d'induction mathématique; que cela soit pos- sible, je voudrais d'autant moins le nier que je soupçonne cet axiome d'être une autre forme du même principe.
Et alors je ne puis m'empêcher de penser à tous les gens qui prétendent démontrer le postu-
118 DERNIÈRES PENSÉES
latum d'Euclide, en s'appuyant sur une de ses conséquences, et en regardant cette conséquence comme une vérité évidente par elle-même. Qu'ont- ils gagné? Cette vérité, quelque évidente qu'elle soit, le sera-t-elle plus que le postulatum lui- même?
Nous ne gagnons donc rien sur le nombre des postulats; gagnons-nous au moins sur la qualité?
En quoi le nouvel axiome l'emporte-t-il sur le principe d'induction?
1» Est-il susceptible d'un énoncé plus simple et plus clair? C'est possible, car celui que M. Russell nous donne peut sans doute être amélioré; mais ce n'est pas probable.
2° L'axiome de réductibilité est-il plus général que le principe d'induction? de sorte que l'on ne puisse démontrer cet axiome en partant de ce principe?
3° Ou bien au contraire l'axiome est-il moins général en apparence que le principe, de sorte qu'on n'aperçoive pas immédiatement que le second est contenu dans le premier, bien qu'il le soit?
4*» L'emploi de cet axiome est-il plus conforme aux tendances naturelles de notre esprit; peut-on le justifier psychologiquement?
Je me borne à poser ces questions ; les éléments me manquent pour les résoudre puisque je n'ai pu
LA LOGIQUE DE L*INFINI 119
arriver même à comprendre complètement le sens de cet axiome.
Mais si je ne puis, avec les indications trop sommaires données par M. Russell, espérer de pénétrer entièrement ce sens, il m'est permis au moins de faire quelques conjectures. Voilà une proposition comme par exemple la définition du nombre entier; un entier fini est un nombre qui appartient à toutes les classes récurrentes ; cette proposition n'a pas de sens, par elle-même; elle n'en aurait un que si on précisait l'ordre des classes récurrentes dont il s'agit. Mais il arrive heureusement ceci ; tout entier du 2' ordre est a fortiori un entier du 1"" ordre, puisqu'il appar- tiendra à toutes les classes récurrentes des deux premiers ordres, et par conséquent à toutes celles du l®" ordre; de même tout entier du K' ordre sera a fortiori un entier du K — 1* ordre. Nous sommes ainsi amenés à définir une série de classes de plus en plus restreintes, entiers du l", du 2% ..., du n* ordre, dont chacune sera con- tenue dans celle qui précède. J'appellerai entier d'ordre <o tout nombre qui appartiendra à la fois à toutes ces classes ; et cette définition de l'entier de l'ordre w aura un sens et pourra être regardée comme équivalente à la définition d'abord proposée pour le nombre entier et qui n'en avait pas. Est-ce là une application correcte
120 DERNIÈBES PENSÉES
de l'axiome de réducUbilité, tel que l'entend M. Russell? Je ne propose cet exemple que timi- dement.
Admettons-le pourtant, et reprenons le théorème à démontrer au sujet de la somme de deux entiers. Nous avons établi que la somme de deux entiers du K* ordre est un entier d'ordre K — 1, et nous voulons en conclure que si a; et n sont deux entiers d'ordre w, la somme n-\-x est aussi un entier d'ordre co. Et en effet il suffit pour cela d'établir que c'est un entier d'ordre K quelque grand que soit K. Or si n et a? sont des entiers d'ordre w, ce seront a fortiori des entiers d'ordre K-|-l, donc en vertu du théorème déjà établi, n-\-x est un entier d'ordre K...
C. Q. F. D.
Est-ce de cette façon qu'on peut se servir de l'axiome de M, Russell? Je sens bien que ce n'est pas tout à fait cela et que M. Russell donnerait au raisonnement une tout autre forme, mais le fond demeurerait le même.
Je ne veux pas discuter ici la validité de ce mode de démonstration.
Je me bornerai pour le moment aux observa- tions suivantes. Nous avons été conduits à intro- duire à côté de la notion des objets du n* ordre, celle des objets d'ordre w et nous croyons avoir réussi en ce qui concerne les entiers, à définir
LA LOGIQUE DE L INFINI
121
cette notion nouvelle. Mais cela ne réussirait pas toujours; pour Epiinénide par exemple, cela ne marcherait pas du tout. Ce qui a assuré le succès, c'est la circonstance suivante. La classification étudiée n'était pas prédicative, et l'adjonction d'éléments nouveaux obligeait à modifier le clas- sement des éléments antérieurement introduits et classés. Toutefois cette modification ne pouvait se faire que dans un sens ; on pouvait être obligé de transférer des objets de la classe A dans la classe B (à savoir de celle des entiers dans celle des non-entiers), mais jamais de les transférer de la classe B dans la classe A. Il faudrait une con- vention nouvelle pour définir les objets d'ordre a> dans les cas où la modification devrait se faire tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre.
En second lieu, la définition des entiers d'ordre (o Il est pas la même que celle des entiers d'ordre K, K étant fini. On définit les entiers d'ordre K par récurrence en déduisant la notion d'entier d'ordre K, de la notion d'entier d'ordre K — 1. On définit les entiers d'ordre w, par passage à la limite, en faisant dépendre cette notion nouvelle d'une infi- nité de notions antérieures, celles des entiers de tous les ordres finis. Les deux définitions seraient donc incompréhensibles pour quelqu'un qui ne saurait pas déjà ce que c'est qu'un nombre fini; elles présupposent la distinction des nombres finis
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122 DERNIÈRES PENSÉES
et des nombres infinis. Ce n'est donc pas sur elles qu'on peut espérer fonder cette distinction.
§ 5. — LE MEMOIRE DE M. ZERMELO
C'est dans une tout autre direction que M. Zer- melo cherche la solution des difficultés que nous avons signalées. Il s'efforce de poser un système d'axiomes a priori, qui doi-^ent lui permettre d'établir toutes les véri^js mathématiques sans être exposé à la contradiction. Il y a plusieurs manières de concevoir le rôle des axiomes ; on peut les regarder comme des décrets arbitraires qui ne sont que les définitions déguisées des notions fondamentales. C'est ainsi qu'au début de la géométrie, M. Hilbert introduit des « choses » qu'il appelle points, droites et plans, et que, jubliant ou paraissant oublier un instant le sens vulgaire de ces mots, il pose entre ces choses diverses relations qui les définissent.
Pour que cela soit légitime, il faut démontrer que les axiomes ainsi introduits ne sont pas con- tradictoires, et M. Hilbert y a parfaitement réussi en ce qui concerne la géométrie, parce qu'il sup- posait l'analyse déjà constituée et qu'il a pu s'en servir pour cette démonstration. M. Zermelo n'a pas démontré que ses axiomes étaient exempts de contradiction, et il ne pouvait le faire, car, pour
LA LOGIQUE DE L INFINI
123
cela, il lui aurait fallu s'appuyer sur d'autres véri- tés déjà établies; or des vérités déjà établies, une science déjà faite, il suppose qu'il n'y en a pas encore, il fait table rase, et il veut que ses axiomes se suffisent entièrement à eux-mêmes.
Les postulats ne peuvent donc tirer leur valeur d'une sorte de décret arbitraire, il faut qu'ils soient évidents par eux-mêmes. Il nous faudra donc, non pas démontrer cette évidence, puisque l'évidence | ne se démontre pas, mais chercher à pénétrer le i mécanisme psychologique qui a créé ce sentiment i de l'évidence. Et voici d'où provient la difficulté; M. Zermelo admet certains axiomes, et il en rejette d'autres qui, au premier abord, peuvent sembler aussi évidents que ceux qu'il conserve ; s'il les conservait tous, il tomberait dans la con- tradiction, il lui fallait donc faire un choix, mais on peut se demander quelles sont les raisons de i son choix, et c'est ce qui nous oblige à quelque attention.
Ainsi il commence par rejeter la définition de , Cantor : un ensemble est la réunion d'objets dis- tincts quelconques considérés comme formant un tout. Je n'ai donc pas le droit de parler de l'en- semble de tous les objets qui satisfont à telle ou telle condition. Ces objets ne forment pas un ensemble, une Afenge, mais il faut bien mettre quel- que chose à la place de la définition qu'on rejette.
124 DEBMÈRES PENSÉES
M. Zermelo se borne à dire : considérons un domaine [Bereich) d'objets quelconques; il peut arriver qu'entre deux de ces objets x et y, il y ait une relation de la forme x z y\ nous dirons alors que x est un élément de y, et que y est un ensemble, une Menge.
Évidemment ce n'est pas là une définition, quel- qu'un qui ne sait pas ce que c'est qu'une Menge, ne le saura pas davantage quand il aura appris qu'elle est représentée par le symbole £, puisqu'il ne sait pas ce que c'est que e. Cela pourrait aller si ce symbole e devait être défini dans la suite par les axiomes eux-mêmes qui seraient regardés comme des décrets arbitraires. Mais nous venons de voir que ce point de vue était intenable. Il faut donc fi que nous sachions d'avance ce que c'est qu'une Il Menge, que nous en ayons l'intuition, et c'est cette I intuition qui nous fera comprendre ce que c'est que e, qui ne serait sans cela qu'un symbole dépourvu de sens, et dont on ne pourrait affirmer aucune propriété évidente par elle-même. Mais qu'est-ce que cette intuition peut être si elle n'est pas la définition de Cantor que nous avons dédai- gneusement rejetée?
Passons sur cette difficulté que nous cherche- rons plus loin à éclaircir eténumércns les axiomes admis par M. Zermelo ; ils sont au nombre de sept :
LA LOGKJLE DE l'iNFINI 125
1" Deux Mengen qui ont mêmes éléments sont identiques.
2° Il y a une Menge qui ne contient aucun élé- ment, c'est la Nullmenge \ s'il existe un objet a, il existe une Menge [a) dont cet objet est l'unique élément ; s'il existe deux objets a et b, il existe une Menge (a, b) dont ces deux objets sont les seuls éléments.
3° L'ensemble de tous les éléments d'une Menge M qui satisfont à une condition x forme un sous- ensemble, une Untermenge de M.
4° A chaque Menge T correspond une autre Menge UT, formée de toutes les Untermengen de T.
5° Considérons une Menge T dont les éléments sont eux-mêmes des ^/en^'cn; il existe une i/e^^e ST, dont les éléments sont les éléments des éléments de T. Si par exemple T a trois éléments A, B, C, qui sont eux-mêmes des Mengen; si A a deux élé- ments a et a', B deux éléments b et b', G deux éléments c et c', ST aura six éléments a, b, c, a', b', c'.
6° Si on a une Menge T dont les éléments sont eux-mêmes des Mengen, on peut choisir dans cha- cune de ces Mengen élémentaires un élément, et l'ensemble des éléments ainsi choisis forme une Untermenge de ST.
7° Il existe au moins une Menge intime.
Avant de discuter ces axiomes, je dois répondre
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i26 DERNIÈRES PENSÉES
à une question; pourquoi, dans leur énoncé, ai-je conservé le nom allemand Menge au lieu de le tra- duire par le mot français ensemble? C'est parce que ie ne suis pas sûr que le mot Menge conserve dans ces axiomes son sens intuitif, sans quoi il serait difficile de rejeter la définition de Cantor; or le mot français ensemble suggère ce sens intuitif d'une façon trop impérieuse, pour qu'on puisse l'em- ployer sans inconvénient quand ce sens est altéré. Je n'insisterai pas beaucoup sur le 7* axiome; 1 j'en dois cependant dire un mot pour faire remar- I quer la façon très originale dont M. Zermelo l'énonce; il ne se contente pas en effet de l'énoncé que j'ai donné; il dit : il existe une Menge M qui ne peut contenir l'élément a, sans contenir égale- ment comme élément la Menge (a), c'est-à-dire celle dont a est l'unique élément. Et alors si M ( admet l'élément a, elle en admettra une série , d'autres, à savoir la Menge dont a est l'unique élé- I ment, la Menge dont l'unique élément est la Menge dont l'unique élément est a et ainsi de suite. On voit assez que le nombre de ces éléments doit être infini. Au premier abord, ce détour parait bien bizarre et bien artificiel, et il l'est en effet; mais M. Zermelo a voulu éviter de prononcer le mot I infini, parce qu'il considère ses axiomes comme antérieurs à la distinction du fini et de l'infini. Passons aux six premiers axiomes; ils peuvent
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être regardés comme évidents, dès qu'on donne au mot Menge son sens intuitif et si on ne consi- dère que des objets en nombre fini. Mais ils ne le sont pas plus que cet autre axiome que l'auteur rejette expressément :
S" Des objets quelconques forment une Menge.
Et alors nous devons nous poser une question ; pourquoi l'évidence de l'axiome 8 cesse-t-elle dès qu'il s'agit de collections infinies, tandis que celle des six premiers subsiste?
Si, pour résoudre cette question, nous nous reportons à l'énoncé des axiomes, nous aurons un premier étonnement; nous constaterons que tous ces axiomes sans exception ne nous apprennent qu'une chose, c'est que certaines collections, for- mées d'après certaines lois, constituent des Men- gen; de sorte que ces axiomes ne nous apparaîtront plus que comme des règles destinées à étendre le sens du mot Menge, comme de pures définitions de [ mots. Et cela est vrai aussi bien du 8° axiome que nous rejetons, que des sept premiers que nous acceptons.
Nous sommes avertis pourtant bien vite que cette première impression est trompeuse; de sem- blables définitions de mots ne nous exposeraient pas à la contradiction; celle-ci ne serait à craindre que si nous avions d'autres axiomes affirmant que certaines collections ne sont pas des Mengen: et nous
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n'en avons pas. Cependant si nous rejetons le 8* axiome, c'est pour éviter la contradiction : M. Zermelo le dit explicitement.
Il faut donc bien qu'il n'ait pas considéré ses axiomes comme de simples définitions de mots, et qu'il ait attribué au mot Menge un sens intuitif préexistant à tous ses énoncés, quoique différant quelque peu du sens habituel. Il n'est pas impos- sible de l'apercevoir en recherchant l'usage que l'auteur en fait dans ses raisonnements. Une Menge c'est quelque chose sur quoi l'on peut raisonner; c'est quelque chose de fixe et d'immuable dans une certaine mesure. Définir un ensemble, une Menge, une collection quelconque, c'est toujours faire une classification, séparer les objets qui appartiennent à cet ensemble de ceux qui n'en font pas partie. Nous dirons alors que cet ensemble n'est pas une Menge, si la classification correspondante n'est pas prédicative. et que c'est une Menge, si cette clas- sification est prédicative ou si on peut en raison- ner comme si elle l'était.
Si nous rejetons le 8^ axiome, c'est parce que des objets quelconques formeront sans doute une collection, mais une collection qui ne sera jamais close, et dont l'ordre pourra à chaque instant être troublé par Tadjonction d'éléments inattendus. C'est une collection qui n'est pas prédicative et au contraire, quand nous disons par exemple qu'à
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chaque Menge T correspond une autre Menge UT ou ST définie de telle ou telle manière, nous affir- mons que cette définition est prédicative, ou que nous avons le droit de faire comme si elle l'était. Et c'est ici le lieu de parler d'une distinction qui joue un rôle essentiel dans la théorie de M. Zermelo : « Eine Frage oder Aussage E, ueber deren Gûltigkeit oder Ungiiltigkeit die Grund- beziehungen des Bereiches vermôge der Axiome und der allgemeingûlligen logischen Gesetze ohne Willkûr unterscheiden, heisst définit. » Le mot définit semble ici sensiblement synonyme de prédi- catif. Mais l'usage qu'en fait M. Zermelo montre que la synonymie n'est pas parfaite. Ainsi suppo- sons par exemple que cette question E soit la sui- vante : tel élément de la Menge M possède-t-il telle relation avec tous les autres éléments de la même Menge, et que nous convenions de dire que tous les éléments pour lesquels on doit répondre oui forment une classe K? Pour moi, et je crois aussi pour M. Russell, une pareille question n'est pas prédicative; parce que les autres éléments de M sont en nombre infini, qu'on pourra sans cesse en introduire de nouveaux, et que parmi les nouveaux éléments introduits, il pourra y en avoir dans la [définition desquels entre la notion de la classe K, I c'est-à-dire de l'ensemble des éléments qui pos- sèdent la propriété E. Pour M. Zermelo, cette
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DERNIERES PENSEES
question serait définit sans que je sache exactement où est la démarcation exacte, entre les questions qui sont définit et celles qui ne le sont pas. Il lui semble que, pour savoir si un élément possède la propriété E par rapport à tous les autres éléments de M, il suffît de vérifier s'il la possède par rap- port à chacun d'eux. Si la question est définit par rapport à chacun de ses éléments, elle le sera ipso fado par rapport à tous ces éléments.
Et c'est ici qu'apparaît la divergence de nos vues. M. Zermelo s'interdit de considérer l'ensemble de tous les objets qui satisfont à une certaine condi- tion parce qu'il lui semble que cet ensemble n'est jamais clos ; qu'on pourra toujours y faire entrer de nouveaux objets. Au contraire il n'a aucun scrupule à parler de l'ensemble des objets qui font partie d'une certaine Menge M et qui satisfont de plus à une certaine condition. Il lui semble qu'il ne peut posséder une Menge, sans posséder du même coup tous ses éléments. Parmi ces éléments, il choisira ceux qui satisfont à une condition donnée, et il pourra faire ce choix bien tranquillement, sans crainte qu'on vienne le troubler en introdui- sant des éléments nouveaux et inattendus, puisque ces éléments, il les a déjà tous entre les mains. En posant d'avance sa Menge M, il a élevé un mur de clôture qui arrête les gêneurs qui pourraient venir du dehors. Mais il ne se demande pass'il ne peut
LA LOGIQUE DE l'iNFINI 131
y avoir des gêneurs du dedans qu'il a enfermés avec lui dans son mur. Si la Menge M a une infi- nité d'éléments, cela veut dire non que ces éléments puissent être conçus comme existant d'avance tous ' la fois, mais qu'il peut sans cesse en naître de nouveaux ; ils naîtront à l'intérieur du mur, au Heu de naître dehors, voilà tout. Quand je parle de tous les nombres entiers, je veux dire tous les nombres entiers qu'on a inventés et tous ceux qu'on pourra inventer un jour ; quand je parle de tous les points de l'espace, je veux dire tous les points dont les coordonnées sont exprimables par des nombres rationnels, ou par des nombres algé- briques, ou par des intégrales, ou de toute autre manière que l'on pourra inventer. Et c'est ce « Von pourra » qui est l'infini. Mais on pourra en inventer que l'on définira de bien des façons, et si nous reprenons comme tout à l'heure notre ques- tion E et notre classe K, la question E se pose de nouveau chaque fois qu'on définira un nouvel élé- ment de M ; or, parmi ces éléments que nous pourrons définir, il y en aura dont la définition dépendra de cette classe K. De sorte que le cercle vicieux n'aura pu être évité.
Voilà pourquoi les axiomes de M. Zermelo ne sauraient me satisfaire. Non seulement ils ne me semblent pas évidents, mais quand l'on me deman- dera s'ils sont exempts de contradiction, je ne
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saurai que répondre. L'auteur a cru éviter le para- doxe du plus grand cardinal, en s'interdisant toute spéculation en dehors de l'enceinte d'une Mcnge bien close; il a cru éviter le paradoxe de Richard, en ne posant que des questions définit^ ce qui, d'après le sens qu'il donne à cette expression, exclut toute considération sur les objets qui peuvent être définis en un nombre fini de mots. Mais s'il a bien fermé sa bergerie, je ne suis pas sûr qu'il n'y ait pas enfermé le loup. Je ne serais tranquille que s'il avait démontré qu'il est à l'abri de la contradiction; je sais bien qu'il ne pouvait le faire, puisqu'il aurait fallu s'appuyer par exemple sur le principe d'induc- tion, qu'il ne révoquait pas en doute, mais qu'il se proposait de démontrer plus loin. Il aurait dû passer outre ; cela aurait été au prix d'une faute l de logique, jn ai s du moins nous en serions sûrs.
§ 6. — L'EMPLOI DE L'INFINI
Est-il possible de raisonner sur des objets qui ne peuvent pas être définis en un nombre fini de mots? Est-il possible même d'en parler en sachant de quoi l'on parle, et en prononçant autre chose que des paroles vides? Ou au contraire doit-on les regarder comme impensables? Quant à moi. Je n'hésite pas à répondre que ce sont de purs néants.
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Tous les objets que nous aiironsjamais à envi- sager, ou bien seront définis en un nombre fini de mots, ou bien ne seront qu^i^mparfaitement déter- minés et demeurerontjndiscernables d^une foule d'autres objets ; et nous ne pourrons raisonner congrument à leur endroit, que quand nous les aurons distingués de ces autres objets avec lesquels ils demeurent confondus, c'est-à-dire quand nous serons arrivés à les définir en un nombre fini de mots.
Si nous considérons un ensemble, et que nous voulions en définir les différents éléments, cette définition se décomposera naturellement en deux parties ; la prernière partie de la définition, commune ' " /"" à tous les éléments de l'ensemble, nous apprendra '"^ à les distinguer des éléments qui sont étrangers à cet ensemble ; ce sera la définition de l'ensemble ; la seconde partie nous apprendra à distinguer les jC^.\ uns des autres les diflerents éléments de l'en- '''' semble.
Chacune de ces deux parties devra se composer d'un nombre fini de mots. Si on parle de tous les éléments d'un ensemble dont on donne la défini- tion, on veut parler de tous les objets qui satis- l font à la première partie de la définition et qu'on pourra achever de définir par telle phrase d'un nombre fini de mots que l'on voudra. On ne vous donne que la moitié de la définition, vous pouvez
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134 DERNIÈRES PENSÉES
ensuite la compléter, en choisissant la seconde moitié comme il vous plaira ; mais il faut que vous la complétiez. Si j'affirme une proposition au sujet de tous les objets d'un ensemble, je veux dire que si un objet satisfait à la première partie de la défi- nition, la proposition en ce qui concerne cet objet restera vraie, quelle que soit la manière dont vous énoncerez la seconde partie; mais si vous pouvez l'énoncer comme vous voulez, il est nécessaire que vous l'énonciez, sans quoi l'objet serait impensable et la proposition n'aurait aucun sens.
Ce n'est pas qu'on ne puisse faire et qu'on n'ait fait quelques objections à cette façon de voir. Les phrases d'un nombre fini de mots pourront toujours être numérotées, puisqu'on peut par exemple les classer par ordre alphabétique. Si tous les objets pensables doivent être définis par de semblables phrases, on pourra aussi leur donner un numéro. 11 n'y aurait donc pas plus d'objets pensables que de nombres entiers; et si l'on considère l'espace, par exemple, si l'on en exclut les points qui ne peuvent être définis en un nombre fini de mots et qui sont de purs néants, il n'y restera pas plus de points qu'il n'y a de nombres entiers. Et Cantor a démontré le contraire.
Ce n'est là qu'un trompe-l'œil ; représenter les points de l'espace par la phrase qui sert à les défi- nir j classer ces phrases et les points correspon-
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dants d'après les lettres qui forment ces phrases, c'est construire une classification qui n'est pas prédicative, qui entraîne tous les inconvénients, tous les parai ogi s m es, toutes les antinomies dont j'ai parlé au début de ce chapitre. Qu'a voulu dire Cantor et qu'a-t-il réellement démontré ? On ne peut trouver, entre les nombres entiers et les points de l'espace définissables en un nombre fini de mots, une loi de correspondance satisfaisant aux conditions suivantes : 1° Cette loi peut s'énoncer en un nombre fini de mots. 2° Étant donné un entier quelconque, on peut trouver le point de l'es- pace correspondant, et ce point sera entièrement défini sans ambiguïté ; la définition de ce point qui se compose de deux parties, la définition de l'entier et l'énoncé de la loi de correspondance, se réduira à un nombre fini de mots, puisque notre entier peut se définir, et notre loi s'énoncer en «m nombre fini de mots. 3° Étant donné un point Pd^. l'espace que je suppose défini en un nombre fini de mots [sans m'interdire de faire figurer dans cette définition des allusions à la loi de correspondance elle-même, ce qui est essentiel dans la démonstra- tion de Cantor) il y aura un entier qui sera déter- miné sans ambiguïté par l'énoncé de la loi de cor- respondance et par la définition du point P. 4° La loi de correspondance doit être prédicative, c'est-à-dire que si elle fait correspondre un point P à un entier.
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DERNIERES PENSEES
' elle ne devra pas cesser de faire correspondre ce point P à ce même entier, quand on aura introduit I de nouveaux points de l'espace. Voilà ce que ; Cantor a démontré et cela reste toujours vrai ; on '^ voit quel est le sens compliqué enfermé dans cette brève proposition : le nombre cardinal des points de l'espace est plus grand que celui des entiers. , Et alors que devons-nous conclure? Tout théo-
_,y(l rème de mathématiques doit pouvoir être vérifié. Quand j'énonce ce théorème, j'affirme que toutes les vérifications que j'en tenterai réussiront ; et même si l'une de ces vérifications exige un travail qui excéderait les forces d'un homme, j'affirme I que, si plusieurs générations, cent, s'il le faut, jugent à propos de s'atteler à cette vérification, elle réussira encore. Le théorème n'a pas d'autre sens, et cela est encore vrai si dans son énoncé on parle de nombres infinis ; mais comme les vérifî- ; cations ne peuvent porter que sur des nombres i finis, il s'ensuit que tout théorème sur les nombres infinis ou surtout sur ce qu'on apj)ell^e ensembles infinis, ou cardinaux transfinis, ou ordinaux trans- finis, etc., etc., ne peut être qu'une façon abrégée r d'énoncer des propositions sur les nombres finis, j, S'il en est autrement, ce théorème ne sera pas j ^ il vérifiable, et s'il n'est pas vérifiable, il n'aura pas de_sçns.
Et il s'ensuit qu'il ne saurait y avoir d'axiome
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évident conceriiant les nombres infinis; toute pro- priété des nombres infinis n'est que la traduction d'une propriété des nombres finis ; c'est cette der- nière qui pourra être évidente, tandis qu'il fau- dra démontrer la première en la comparant à la dernière et en montrant que 'a traduction est exacte.
§. 7. — RÉSUMÉ
Les antinomies auxquelles certains logiciens ont été conduits proviennent de ce qu'ils n'ont pas pu éviter certains cercles vicieux. Cela leur est arrivé quand ils considéraient des collections finies, mais cela leur est arrivé bien plus souvent quand ils avaient la prétention de traiter des collections infi- nies. Dans le premier cas, ils auraient pu éviter aisément le piège où ils sont tombés ; ou plus exac- tement ils ont eux-mêmes tendu le piège où ils se sont amusés à tomber, et même ils ont été obligés de faire bien attention pour ne pas tomber à côté du piège ; en un mot, dans ce cas les antinomies ne sont que des joujoux. Bien différentes sont j| /- celles qu'engendre la notion do l'infini ; il arrive souvent qu'on y tombe sans le faire exprès, et même quand on est averti, on n'est pas encore bien tranquille.
Les tentatives qui ont été faites pour sortir de
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ces difficultés sont intéressantes à plus d'un titre^ mais elles ne sont pas entièrement satisfaisantes. M. Zermelo a voulu construire un système impec- cable d'axiomes ; mais ces axiomes ne peuvent être regardés comme des décrets arbitraires, puisqu'il faudrait démontrer que ces décrets ne sont pas contradictoires, et qu'ayant fait entièrement table rase on n'a plus rien sur quoi l'on puisse appuyer une semblable démonstration. Il faut donc que ces axiomes soient évidents par eux-mêmes. Or quel est le mécanisme par lequel on les a construits? [ on a pris les axiomes qui sont vrais des collections I finies; on ne pouvait les étendre tous aux collec- I tiens infinies, on n'a fait cette extension que pour 1 un certain nombre d'entre eux, choisis plus ou ' moins arbitrairement. A mon sens^d^ailleurs, ainsi que je l'ai dit plus haut, aucune propositionjîon- cernant les collections infinies ne peut être évi- dente par intuition.
M. Russell a mieux compris la nature de la diffi- culté à vaincre, il ne l'a cependant pas entièrement f[ vaincue, parce que sa hiérarchie des types suppose 0( i la théorie des ordinaux^léjà^ faite.
Quant à moi, je proposerais de s'en tenir aux règles suivantes :
1° Ne jamais envisager que des objets suscep- tibles d'être définis en un nombre fini de mots; j 2° Ne jamais perdre de vue que toute proposi-
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tion sur l'infini doit être la traduction, l'énoncé abrégé de propositions sur le fini;
3° Éviter les classifications et les définitions non prédicatives.
Toute's les recherches dont nous avons parlé ont un caractère commun. On se propose d'enseigner les mathématiques à un élève qui ne sait pa& encore la difTérence qu'il_X-a__entre_ l'infini eUe fini; on ne se hâte pas de lui apprendre en quoi consiste cette différence; on commence par lui montrer tout ce qu'on peut savoir de l'infini sans se préoccuper de cette distinction; puis dans une région écartée du champ qu'on lui a fait parcou- rir, on lui découvre un petit coin où se cachent les nombres finis.
Cela me paraît psychologiquement faux; ce n'est pas ainsi que l'esprit humain procède naturelle- ment, et quand même on devrait s'en tirer sans trop de mésaventures antinomiques, cela n'en serait pas moins une méthode contraire à toute saine psychologie.
M. Russell me dira sans doute qu'il ne s'agit pas de psychologie, mais de logique et d'épistémo- lggiei_et moi, je serai conduit à répondre qu'il n'y a pas de logique et d'épistémologie indépendantes de la psychologie; et cette profession de foi clora probablement la discussion parce qu'elle mettra en évidence une irrémédiable divergence de vues-
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DEHNIERES PENSEES
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ces difficultés sont intéressantes à plus d'un titre^ mais elles ne sont pas entièrement satisfaisantes. M. Zermelo a voulu construire un système impec- cable d'axiomes ; mais ces axiomes ne peuvent être regardés comme des décrets arbitraires, puisqu'il faudrait démontrer que ces décrets ne sont pas contradictoires, et qu'ayant fait entièrement table rase on n'a plus rien sur quoi l'on puisse appuyer une semblable démonstration. Il faut donc que ces axiomes soient évidents par eux-mêmes. Or quel est le mécanisme par lequel on les a construits? I on a pris les axiomes qui sont vrais des collections I finies; on ne pouvait les étendre tous aux collec- I lions infinies, on n'a fait cette extension que pour un certain nombre d'entre eux, choisis plus ou moins arbitrairement. A mon sensj^^illeurs^jiiiisi que îp l'ai dit plus haut, aucune proposition con- cernant les collections infinies ne peut être évi- dente par intuition.
M. Russell a mieux compris la nature de la diffi- culté à vaincre, il ne l'a cependant pas entièrement vaincue, parce que sa hiérarchie des types suppose la théorie des ordinaux^éjàjaite.
Quant à moi, je proposerais de s'en tenir aux règles suivantes :
1° Ne jamais envisager que des objets suscep- tibles d'être définis en un nombre fini de mots; 2° Ne jamais perdre de vue que toute proposi-
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tion sur l'infini doit être la traduction, l'énoncé abrégé de propositions sur le fini;
3" Éviter les classiflcations et les définitions non prédicatives.
Toutes les recherches dont nous avons parlé ont un caractère commun. On se propose d'enseigner les mathématiques à un élève qui ne sait pas encore la différence qu'il y a entre l'infini et Je fini; on ne se hâte pas de lui apprendre en quoi consiste cette différence ; on commence par loi montrer tout ce qu'on peut savoir de l'infini sans se préoccuper de cette distinction; puis dans une région écartée dn champ qu'on lui a fait parcou- rir, on lui découvre un petit coin où se cachent les nombres finis.
Cela me paraît psychologiquement faux : ce n'est pas ainsi que l'esprit humain procède naturelle- ment, et quand même on devrait s'en tirer sans trop de mésaventures antinomiques, cela n'en serait pas moins une méthode contraire à toute saine psychologie.
M. Russell me dira sans doute qu'il ne s'agit pas de psychologie, mais de logique et d'épistémo-
Jogie; et moi, je serai conduit à répondre qu'il n'y a pas de logique et d'épislémologie indépendantes de la psychologie; et cette profession de foi clora probablement la discussion parce qu'elle mettra en évidence une irrémédiable diverjrence de vues-
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CHAPITRE V LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE
CHAPITRE V LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE
II y a quelques années, j'ai eu l'occasion d'exposer certaines idées sur la logique de l'infini; sur l'em- ploi de l'infini en Mathématiques, sur l'usage qu'on en fait depuis Cantor; j'ai expliqué pourquoi je ne regardais pas comme légitimes certains modes de raisonnements dont divers mathématiciens éminents avaient cru pouvoir se servir*. Je m'attirai naturel- lement de vertes répliques; ces mathématiciens ne croyaient pas s'être trompés, ils croyaient avoir eu le droit de faire ce qu'ils avaient fait. La discussion s'éternisa, non pas que l'on vît sans cesse surgir de nouveaux arguments, mais parce qu'on tournait toujours dans le même cercle, chacun répétant ce qu'il venait de dire, sans paraître avoir entendu ce que l'adversaire avait dit. A chaque instant, on m'envoyait une nouvelle démonstration du principe contesté, pour se mettre, disait-on, à l'abri de toute objection; mais cette démonstration, c'était tou-
1. Voir cliap, ÏV.
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DERNIERES PENSEES
jours la même, à peine maquillée. On n'est donc arrivé à aucune conclusion ; si je disais que j'en ai été étonné, je donnerais une triste idée de ma péné- tration psychologiaue.
Dans ces conditions, convient-il de répéter une fois de plus les mêmes arguments, auxquels je pour- rais peut-être donner une forme nouvelle, mais "auxquels je ne pourrais rien changer dans le fond, puisqu'il me semble qu'on n'a pas même essayé de les réfuter. II me semble préférable de rechercher quelle peut être l'origine de cette différence de mentalité qui engendre de telles divergences de vues. Je viens de dire que ces divergences irréductibles ne m'avaient pas étonné, que je les avais prévues dès la première heure, mais cela ne nous dispense pas d'en chercher l'explication; on peut prévoir un fait, à la suite d'expériences répétées, et être pourtant très embarrassé pour l'expliquer.
Cherchons donc à étudier la psychologie des deux écoles adverses, à un point de vue puremen" objectif, comme si nous étions nous-mêmes placés en dehors de ces écoles, comme si nous décrivions une guerre entre deux fourmilières; nous consta- terons d'abord qu'il y a chez les mathématiciens deux tendances opposées dans la façon d'envisager
' l'infini. Pour les uns, l'infini dérive du fini, il y aun infini parce qu'il y a une infinité de choses finies
\ ossibles; pour les autres l'infini préexiste au fini.
LES BlATIlÉMAngUES ET LA LOGIQUE 145
le fini s'oblient en découpant un petit morceau dans l'infini.
Un théorème doit pouvoir être vérifié, mais comme nous sommes nous-mêmes finis, nous ne pouvons opérer que sur des objets finis; lors donc même que la notion d'infini joue un rôle dans l'é- noncé du théorème, il faut que dans la vérification il n'en soit plus question; sans quoi cette vérifica- tion serait impossible. Je prendrai comme exemples des théorèmes comme ceux-ci : la suite des nombres
1 premiers est illimitée. la série 2 — ^ est conver-
gente, etc.; chacun d'eux peut se traduire par des égalités ou des inégalités où ne figurent que des nombres finis. Ces théorèmes participent de l'infini, non parce qu'une des vérifications possibles en participe elle-même, mais parce que les vérifications possibles sont en nombre infini.
En énonçant le théorème, j'affirme que toutes ces vérifications réussiraient; bien entendu, on ne les fait pas toutes; il y en a que j'appelle possibles parce qu'elles n'exigeraient qu'un temps fini, mais qui seraient pratiquement impossibles parce qu'elles demanderaient des années de travail. Il me suffit qu'on puisse concevoir quelqu'un d'assez riche et d'assez fou pour la tenter en payant un nombre suffi sant d'auxiliaires. La démonstration du théorème a précisément pour but de rendre cette folie inutile.
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146 DERNIÈRES PENSÉES
Un théorème qui ne comporte aucune conclusion vérifiable a-t-il un sens? ou plus généralement un théorème quelconque a-t-il un sens en dehors des vérifications qu'il comporte? C'est ici que les mathé- maticiens diiïèrent. Ceux de la première école, ceux que j'appellerai les Pragmatistes (puisqu'il faut bien leur donner un nom) répondent non, et quand on leur apporte un théorème sans leur donner un moyen de le vérifier, ils n'y voient que de la bouil- lie pour les chats. Ils ne veulent envisager que des objets qui peuvent être définis en un nombre fini de mots; quand dans un raisonnement on leur parle d'un objet A satisfaisant à certaines condi- tions, ils sous-entendent un objet qui satisfait à ces conditions quels que soient d'ailleurs les mots dont on se servira pour achever de le définir, pourvu que ces mots soient en nombre fini.
Ceux de l'autre école, que j'appellerai, pour abré- ger, les Cantoriens, ne veulent pas admettre cela ; un homme, quelque bavard qu'il soit, ne pronon- cera jamais dans sa vie plus d'un milliard de mots; et alors allons-nous exclure de la Science les objets dont la définition contient un milliard et un mots? et si nous ne les excluons pas, pourquoi exclurions- nous ceux qui ne peuvent être définis que par une infinité de mots, puisque la construction des uns est comme celle des autres au-dessus de la portée de l'humanité?
LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE 147
Cet argument laisse bien entendu les Pragma- tistes froids; quelque bavard que soit un homme, l'humanité sera lus bavarde encore et comm« nous ne savons pas combien de temps elle durera, nous ne pouvons pas limiter d'avance le champ de ses investigations ; nous savons seulement que ce champ restera toujours limité; et quand même nous pourrions fixer la date de sa disparition, il y a d'autres astres qui pourraient reprendre l'œuvre inachevée sur la Terre; les Pragmatistes n'au- raient d'ailleurs pas de répugnance à imaginer une humanité beaucoup plus bavarde que la nôtre, mais conservant encore quelque chose d'humain; ils se refusent à raisonner sur l'hypothèse de je ne sais quelle divinité infiniment bavarde et sus- ceptible de penser une infinité de mots en un temps fini. Et les autres pensent au contraire que les objets existent, dans une sorte de grand magasin, indé- pendamment de toute humanité ou de toute divinité qui pourrait en parler ou y penser; que dans ce magasin ntus pouvons faire notre choix, que sans doute nous n'avons pas assez d'appétit ou assez d'argent pour tout acheter; mais que l'inventaire du magasin est indépendant des ressources des acheteurs. Et de ce malentendu initial résultent toutes sortes de divergences de détail.
Prenons pour exemple le théorème de Zermelo, d'après lequel l'espace est susceptible d'être trans-
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formé en un ensemble bien ordonné; les Can- toriens seront séduits par la rigueur, réelle ou apparente, de la démonstration; les Pragmatistes lui répondront: Vous dites que vous pouvez trans- former l'espace en un ensemble bien ordonné; eh bien ! transformez-le. — Ce serait trop long. — Alors montrez-nous au moins que quelqu'un qui aurait assez de temps et de patience pourrait faire la trans- formation. — Non, nous ne le pouvons pas parce que le nombre des opérations à faire est infini, il est même plus grand que Alephzéro. — Pouvez- vous montrer comment on pourrait exprimer en un nombre fini de mots la loi qui permettrait d'ordon- ner l'espace? — Non — et les Pragmatistes con- cluent que le théorème est dénué de sens, ou faux, ou tout au moins indémonlré.
Les Pragmatistes se placent au point de vue de l'extension et les Cantoriens au point de vue de la compréhension. Quand il s'agit d'une collection finie, cette distinction ne peut intéresser que les théoriciens de la logique formelle; mais elle nous apparaît comme beaucoup plus profonde en ce qui concerne les collections infinies. Si on se place au point de vue de l'extension, une collection se cons- titue par l'adjonction successive de nouveaux membres; nous pouvons en combinant les objets anciens construire des objets nouveaux, puis avec ceux-ci des objets encore plus nouveaux, et si la
LBS MATHÉMATIQUES ET LA LOGlgUE 149
collecfion est infinie, c'est parce qu'il n'y a pas de raison pour s'arrêter.
Au point de vue de la compréhension au contraire, nous partons de la collection où se trouvent des objets préexistants, qui nous apparaissent d'abord comme indistincts, mais nous finissons par recon- naître quelques-uns d'entre eux parce que nous y collons des étiquettes et que nous les rangeons dans dcb tiroirs ; mais les objets sont antérieurs aux éti- quette», et la collection existerait quand même il n'y aurait pas de conservateur pour la classer.
Pour les Cantoriens la notion de nombre cardinal ne comporte pas de mystère. Deux collections ont le même nombre cardinal quand on peut les ranger dans les mêmes tiroirs ; rien de plus facile puisque les deux collections préexistent, et qu'on peut regarder également comme préexistante une collec- tion de tiroirs indépendante des conservateurs chargés d'y ranger les objets. Pour les Pragmatistes, il n'en va pas de même; la collection ne préexiste pas, elle s'enrichit chaque jour: de nouveaux objets s'y adjoignent sans cesse qu'on n'aurait pu définir sans s'appuyer sur la notion des objets déjà anté- rieurement classés et sur la façon dont ils sont clas- sés. A chaque nouvelle acquisition, le conservateur peut être forcé de bouleverser ses tiroirs pour trou- ver le moyen de la caser: on ne saura jamais si deux collections peuvent se ranger dans les mêmes
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150 DERMÈRES PENSÉES
tiroirs, puisqu'on peut toujours craindre qu'il soit nécessaire de les déranger.
Par exemple, les Pragmatistes n'admettent que les objets qui peuvent être définis en un nombre fini de mots; les définitions possibles, étant expri- mables par des phrases, peuvent toujours être numérotées avec des numéros ordinaires depuis un jusqu'à l'inlini. A ce compte il n'y aurait qu'un seul nombre cardinal iiif^ci possible, le nombre Alephzéro ; pourquoi dibons-nous alors que la puissance du continu n'est pas celle des nombres entiers? Oui, étant donnés tous les points de Tes- pace que nous savons définir avec des mots en nombre fini, nous savons imaginer une loi, expri- mable erie-même par un nombre fini de mots, qui les fait correspondre à la suite des nombres entiers; mais considérons maintenant des phrases où figure la notion de cette loi de correspondance; tout à l'heure elles n'avaient aucun sens puisque cette loi n'était pas encore inventée, et elles ne pouvaient servir à définir des points de l'espace; maintenant elles ont acquis un sens, elles vont nous permettre de définir de nouveaux points de l'espace; mais ces nouveaux points ne trouveront plus de place dans la classification adoptée, ce qui nous contraindra à la bouleverser. Et c'est cela que nous voulons dire, d'après les Pragmatistes, quand nous disons que la puissance du continu
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n'est pas celle des nombres entiers. Nous voulons dire qu'il est impossible d'établir entre ces deux ensembles une loi de correspondance qui soit à l'abri de cette sorte de bouleversement; au lieu qu'on peut le faire par exemple quand il s'agit d'une droite et d'un plan.
Et alors les Pragmatistes ne sont pas certains qu'un ensemble quelconque ait, à proprement parler, un nombre cardinal ; ou bien qu'étant donnés deux ensembles on puisse toujours savoir s'ils ont la même puissance, ou si l'un a une puissance plus grande que l'autre. Ils en viennent ainsi à douter de l'existence d'Aleph-un.
Une autre source de divergence vient de la façon de concevoir la définition. 11 y a plusieurs sortes de définitions; la définition directe q'iî p^vt se faire soit par genus proximum et di/ferenfiam spe cificam soit par construction.
Notons en passant qu'il y a des définitions incomplètes en ce sens qu'elles définissent non pas un individu, mais un genre tout entier; elles sont légitimes et ce sont même celles dont on fait le plus fréquemment usage; mais d'après les Prag- matistes, on doit sous-entendre l'ensemble des individus qui satisfont à la définition et qu'on pourrait achever de définir en un nombre fini de mots; pour les Cantoriens cette restriction est arti- ficielle et dénuée de si'rnification.
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DERNIERES PENSEES
S'il n'y avait que des définitions directes, l'im- puissance de la logique pure ne saurait être con- testée ; on pourrait alors dans une proposition quelconque remplacer chacun des termes par sa définition; quand on aurait terminé cette substi- tution, ou bien la proposition ne se réduirait pas à une identité et alors elle ne serait pas suscep- tible d'une démonstration purement logique ; ou bien elle se réduirait à une identité et alors elle ne serait qu'une tautologie plus ou moins habilement déguisée.
Mais nous avons encore une autre sorte de défi- nitions, les définitions par postulats ; généralement nous saurons que l'objet à définir appartient à un genre, mais quand il s'agira d'énoncer la diffé- rence spécifique, on ne l'énoncera pas directement, mais à l'aide d'un « postulat » auquel l'objet défini devra satisfaire. C'est ainsi que les mathématiciens peuvent définir une quantité x par une équation explicite x = f{y), ou par une équation implicite F{x,y) = 0.
La définition par postulat n'a de valeur que quand on a démontré l'existence de l'objet défini; dans le langage mathématique, cela veut dire que le postulat n'implique pas contradiction; on n'a pas le droit de négliger cette condition; il faut ou bien admettre l'absence de contradiction comme une vérité intuitiTGj comme un axiome, par une sorte
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d'acte de foi; mais alors il faut se rendre compte de ce qu'on fait et savoir qu'on a allongé la liste des axiomes indémontrables; ou bien il faut cons- truire une démonstration en règle, soit par l'exem- ple, soit par l'emploi du raisonnement par récur- rence. Ce n'est pas que cette démonstration soit moins nécessaire quand il s'agit d'une définition directe, mais elle est généralement plus facile.
Certains Pragmatistes seront plus exigeants : pour qu'ils regardent une définition comme légi- time, il ne leur suffira pas qu'elle ne conduise pas à des contradictions dans les termes, il leur faudra encore qu'elle ait un sens, à leur point de vue particulier que j'ai cherché à définir plus haut.
Quoi qu'il en soit, la logique restera-t-elle sté- rile, après l'introduction des définitions par pos- tulats? Nous ne pouvons plus, étant donnée una proposition, y remplacer un terme par sa défini- tion; tout ce que nous pouvons faire, c'est d'élimi ner ce terme entre la proposition et le postulat qui lui sert de définition. Si celte opération, faite d'après ce qu'on pourrait appeler les règles de l'élimination logique, ne nous conduit pas à une identité, c'est que la proposition est indémon- trable par la logique pure; si elle conduit à une identité, c'est que la proposition n'est qu'une tau- tologie. Nous n'avons rien à changer à nos conclu- sions de tout à l'heure.
154 DERNIÈRES PENSÉES
I Mais il y a une troisième sorte de définitions, ce iqui est l'origine d'un nouveau malentendu entre les Pragmatistes et les Cantoriens. Ce sont encore des définitions par postulat, mais le postulat est ici une relation entre l'objet à définir et tous les individus d'un genre dont l'objet à définir est sup- posé faire lui-même partie (ou bien dont sont supposés faire partie des êtres qui ne peuvent être eux-mêmes définis que par l'objet à définir). C'est ce qui arrive si nous posons les deux postulais suivants :
X (objet à définir) a telle relation avec tous
les individus du genre G. X fait partie du genre G.
ou bien les trois postulais suivants :
X a telle relation avec tous les individus du genre G.
Y a telle relation avec X.
Y fait partie de G.
Pour les Pragmatistes une pareille définition impl'que un cercle vicieux. On ne peut définir X sans connaître tous les individus du genre G, et par conséquent sans connaître X qui est un de ces I individus. Les Cantoriens n'admettent pas cela; le genre G nous est donné, par conséquent nous en connaissons tous les individus, la définition a pour but seulement de discerner parmi ces individus
LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE 155
celui qui a avec tous ses camarades la relation énoncée. Non, répondent leurs adversaires, lacon-1 naissance du genre ne vous fait pas connaître tousi ses individus, elle vous donne seulement la possi-| bilité de les construire tous, ou plutôt d'en cons- truire autant que vous voudrez. Ils n'existeront qu'après qu'ils auront été construits, c'est-à-dire après qu'ils auront été définis; X n'existe que par sa définition qui n'a de sens que si l'on connaît d'avance tous les individus de G et en particulier X. Il ne servirait à rien de dire, ajoutent-ils, que ce n'est pas un cercle vicieux de définir X par sa rela- tion avec X, que cette relation est en somme un postulat qui peut servir à définir X ; car il faudrait établir au préalable que ce postulat n'implique pas contradiction, mais ce n'est pas d'ordinaire ce qu'on fait dans ce genre de définitions. On démon- tre d'abord que quel que soit le genre G, dont tous les individus sont supposés connus, il existe un être X qui a avec ce genre la relation en question ; c'est-à-dire que l'exislence de cet être n'entraîne pas la contradiction; il resterait à faire voir qu'il n'y a pas contradiction entre l'existence de cet être et l'hypothèse que cet être fait lui-même partie du genre.
Le débat pourrait se poursuivre longtemps ; mais le point que je voudrais mettre en évidence, c'est que si ce genre de définitions était admis, la
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logique ne serait plus stérile, et la preuve c'est qu'on a bâti de la sorte une foule de raisonnements destinés à démontrer des propositions qui n'étaient nullement des tautologies puisqu'il y a des gens qui se demandent si elles ne sont pas fausses. Et alors on admire le pouvoir que peut avoir un mot. Voilà un objet dont on n'aurait rien pu tirer, tant qu'il n'était pas baptisé; il a suffi de lui donner un nom pour qu'il fît des merveilles. Comment cela se fait-il? C'est parce qu'en lui donnant un nom, nous avons affirmé implicitement que l'objet exis- tait (c'est-à-dire était pur de toute contradiction) et qu'il était entièrement déterminé. Or, cela nous n'en savons rien à ce que prétendent les Pragma- tistes. Quel est donc le mécanisme qui rend la démonstration féconde? c'est bien simple, on nie la proposition à démontrer et on montre qu'on se trouve en contradiction avec l'existence de l'objet X ; et cela n'est légitime que si l'on est certain de cette existence, et d'autre part, si l'on sait que l'objet est entièrement déterminé. Et en effet si X A^ déduit du genre G par la définition, que si ensuite on complète le genre G en y adjoignant l'objet X et les autres individus du même genre qui peuvent en dériver; que si l'on appelle G' le genre ainsi complété et X' ce qui se déduirait de G' par la définition de la même façon que X s'eet déduit de G, il faut qu'on soit sûr que X' est iden-
LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE 157
tique à X. S'il n'en était pas ainsi et qu'en niant la proposition à démontrer, on fût conduit à deux énoncés contradictoires
?i(X) = 0, 92(X)=0
comment saurait-on que c'est bien le même X qui figure dans l'une et dans l'autre? Si X figurait dans l'une et X' dans l'autre, les deux propositions s'écriraient
rp,(X) = 0, <P2(X') = 0,
et ne seraient plus contradictoires en général.
Pourquoi donc les Pragmalistes font-ils cette
objection? C'est parce que le genre G ne leur
apparaît que comme une collection susceptible de
s'accroître indéfiniment, à mesure qu'on cons-
l truira de nouveaux individus, possédant les carac-
■ tères convenables; c'est ainsi que G ne peut
i jamais être posé ne varietur, comme le font les
' Cantoriens, et qu'on n'est pas sûr que, par de
nouvelles annexions, il ne deviendra pas G'.
Je me suis en"orcé d'expliquer aussi clairement et aussi impartialement que je l'ai pu en quoi consistent les divergences entre les deux écoles de mathématiciens; et il me semble que nous en apercevons déjà la véritable cause; les savants des deux écoles ont des tendances mentales oppo- sées ; ceux que j'ai appelés les Pragmatistes sont
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DERNIERES PENSEES
des idéalistes, les Cantoriens sont des réalistes.
Il y a une chose qui nous confîrnnera dans cette manière de voir. Nous voyons que les Cantoriens (qu'on me passe ce vocable commode bien que je veuille parler ici non des mathématiciens qui suivent la voie ouverte par Cantor, ni peut-être même des philosophes qui se réclament de lui, mais de ceux qui ont les mêmes tendances d'une façon indépendante), que les Cantoriens, dis-je, parlent constamment d'épistémologie, c'est-à-dire de la science des sciences ; et il est bien entendu que cette épistémologie est tout à fait indépen- dante de la psychologie; c'est-à-dire qu'elle doit nous apprendre ce que seraient les sciences s'il n'y avait pas de savants ; que nous devons étudier les sciences, non sans doute en supposant qu'il n'y a pas de savants, mais du moins sans sup- poser qu'il y en a. Ainsi non seulement la Nature est une réalité indépendante du physicien qui pourrait être tenté de l'étudier, mais la physique elle-même est aussi une réalité qui subsisterait s'il n'y avait pas de physiciens. C'est bien là du réalisme.
Et pourquoi les Pragmatistes refusent-ils d'ad- mettre des objets qui ne pourraient être définis par un nombre fini de mots? C'est parce qu'ils considèrent qu'un objet n'existe que quand il est pensé, et qu'on ne saurait concevoir un objet
LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE 159
pensé indépendamment d'un sujet pensant. C'est bien là de l'idéalisme. Et comme un sujet pensant c'est un homme, ou quelque chose qui ressemble à l'homme, que c'est par conséquent un être fini, l'infini ne peut avoir d'autre sens que la possi- bilité de créer autant d'objets finis qu'on le veut.
Et alors on peut faire une remarque assez curieuse. Les réalistes se placent d'ordinaire au point de vue physique; ce sont les objets maté- riels, ou les âmes individuelles, ou ce qu'ils appellent les substances, dont ils affirment l'exis- tence indépendante. Le monde pour eux existait avant la création de l'homme, avant même celle des êtres vivants ; il existerait encore même s'il n'y avait pas de Dieu ni aucun sujet pensant. Cela, c'est le point de vue du sens Commun, et ce n'est que par la réflexion qu'on peut être amené à l'abandonner. Les partisans du réalisme physique sont en général fînitistes; dans la question des antinomies kantiennes, ils tiennent pour les thèses; ils croient que le monde est limité. Telle est par exemple la manière de voir de M. Evellin. Au contraire les idéalistes n'ont pas les mêmes répugnances et sont tout prêts à souscrire aux antithèses.
Mais les Cantoriens sont réalistes, même en ce qui concerne les entités mathématiques ; ces entités leur paraissent avoir une existence indé-
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pendante; le géomètre ne les crée pas, il les découvre. Ces objets existent alors pour ainsi dire sans exister, puisqu'ils se réduisent à de pures essences; mais comme, par nature, ces objets sont en nombre infini, les partisans du réalisme mathé- matique sont beaucoup plus infînitistes que les idéalistes; leur infini n'est plus un devenir, puis- qu'il préexiste à l'esprit qui le découvre; qu'ils l'avouent ou qu'ils le nient, il faut donc qu'ils croient à l'infini actuel.
On reconnaît là la théorie des idées de Platon ; et cela peut paraître étrange de voir Platon classé parmi les réalistes ; rien n'est pourtant plus opposé à l'idéalisme contemporain que le plato- nisme, bien que cette doctrine soit également très éloignée du réalisme physique.
Je n'ai jamais connu de mathématicien plus réaliste, au sens platonicien, qu'Hermite, et pour- tant je dois avouer que je n'en ai pas rencontré de plus réfractaire au Cantorisme. Il y a là une appa- rente contradiction, d'autant plus qu'il répétait volontiers : Je suis anticantorien parce que je suis réaliste. Il reprochait à Cantor de €réer des objets, au lieu de se contenter de les découvrir. Sans doute à cause de ses convictions religieuses consi- dérait-il comme une sorte d'impiété de vouloir pénétrer de plain-pied dans un domaine que Dieu seul peut embrasser et de ne pas attendre qu'il
LES MATHÉMATigL'ES ET LA LOGIQUE 161
nous en révèle un à un les mystères. Il comparait les sciences mathématiques aux sciences natu- relles. Un naturaliste qui aurait cherché à deviner le secret de Dieu, au lieu de consulter l'expé- rience, lui aurait paru non seulement présomp- tueux mais irrespectueux pour la majesté divine; les Cantoriens lui paraissaient vouloir agir de même en mathématiques. Et c'est pourquoi, réa- liste en théorie, il était idéaliste en pratique. Il y a une réalité à connaître et elle est extérieure à nous et indépendante de nous ; mais tout ce que nous en pouvons connaître dépend de nous, et n'est plus qu'un devenir, une sorte de stratification de conquêtes successives. Le reste est réel mais éter- nellement inconnaissable.
Le cas d'Hermite est d'ailleurs isolé et je ne m'y étends pas davantage. De tout temps, il y a eu en philosophie des tendances opposées et il ne semble pas que ces tendances soient sur le point de se concilier. C'est sans doute parce qu'il y a des âmes différentes et qu'à ces âmes nous ne pouvons rien changer. II n'y a donc aucun espoir de voir l'accord s'établir entre les Pragmatistes et les Cantoriens. Les hommes ne s'entendent pas parce qu'ils ne parlent pas la même langue et qu'il y a des langues qui ne s'apprennent pas.
Et pourtant en mathématiques ils ont coutume de s'entendre ; mais c'est justement grâce à ce que
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162 DERNIÈRES PENSÉES
j'ai appelé les vérifications; elles jugent en der- nier ressort et devant elles tout le monde s'in- cline. Mais là où ces vérifications font défaut, les mathématiciens ne sont pas plus avancés que de simples philosophes. Quand il s'agit de savoir 4 un théorème peut avoir un sens sans être véri- fiable, qui pourra juger puisque par définition on s'interdit de vérifier? On n'aurait plus de res- source que d'acculer son adversaire à une contra- diction. Mais l'expérience a été faite et elle n'a pas réussi.
On a signalé beaucoup d'antinomies, et le désac- cord a subsisté, personne n'a été convaincu ; d'une contradiction, on peut toujours se tirer par un coup de pouce; je veux dire par un distinguo.
CHAPITRE VI L'HYPOTHESE DES QUANTA
CHAPITRE VI L'HYPOTHÈSE DES QUANTA
On peut se demander si la Mécanique n'est pas à la veille d'un nouveau bouleversement; récem- ment s'est réuni à Bruxelles un Congres où étaient assemblés une vingtaine de physiciens de diverses nationalités, et, à chaque instant, on aurait pu les entendre parler de la Mécanique nouvelle qu'ils opposaient à la Mécanique ancienne ; or, qu'était-ce que cette Mécanique ancienne? Était-ce celle de Newton, celle qui régnait encore sans conteste à la fin du XIX' siècle ? Non, c'était la Mécanique de Lorentz, celle du principe de relativité, celle qui, il y a cinq ans à peine, paraissait le comble de la har- diesse.
Cela veut-il dire que cette Mécanique de Lorentz n'a eu qu'une fortune éphémère, qu'elle n*a été qu'un caprice de la mode et qu'on est sur le point de revenir aux anciens dieux qu'on avait imprudem- ment délaissés ? Pas le moins du monde, les con-
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166 DERNIÈRES PENSÉES
quêtes d'hier ne sont pas compromises ; en tous les points où elle s'écarte de celle de Newton, la Méca- nique de Lorenlz subsiste. On continue à croire qu'aucun corps mobile ne pourra jamais dépasser la vitesse de la lumière, que la masse d'un corps n'est pas une constante, mais qu'elle dépend de sa vitesse et de l'angle que fait cette vitesse avec la force qui agit sur lui, qu'aucune expérience ne pourra jamais décider si un corps est en repos ou en mouvement absolu, soit par rapport à l'espace absolu, soit même par rapport à l'éther.
Seulement à ces hardiesses, on veut en ajouter d'autres, et beaucoup plus déconcertantes. On ne se demande plus seulement si les équations différen- tielles de la Dynamique doivent être modifiées, mais si les lois du mouvement pourront encore être exprimées par des équations différentielles. Et ce serait là la révolution la plus profonde que la Phi- losophie Naturelle ait subie depuis Newton. Le clair génie de Newton avait bien vu (ou cru voir, nous commençons à nous le demander) que l'état d'un système mobile, ou plus généralement celui de l'univers, ne pouvait dépendre que de son état immédiatement antérieur, que toutes les variations dans la nature doivent se faire d'une manière con- tinue. Certes, ce n'était pas lui qui avait inventé celte idée ; elle se trouvait dans la pensée des anciens et des scolastiques, qui proclamaient
l'hypothèse des quanta 167
l'adage : Natura non facit saltus; mais elle y était étouffée par une foule de mauvaises herbes qui l'empêchaient de se développer et que les grands philosophes du xvii' siècle ont fini par élaguer.
Eh bien, c'est cette idée fondamentale qui est aujourd'hui en question ; on se demande s'il ne faut pas introduire dans les lois naturelles des discon- tinuités, non pas apparentes, mais essentielles, et nous devons expliquer d'abord comment on a pu être conduit à une façon de voir aussi extraordi- naire.
§ 1. — THERMODYNAMIQUE ET PROBABILITÉ
Reportons-nous à la théorie cinétique des gaz; les gaz sont formés de molécules qui circulent dans tous les sens avec de grandes vitesses ; leurs trajec- toires seraient rectilignes si de temps en temps elles ne se choquaient entre elles, ou si elles ne heur- taient les parois du vase. Les hasards de ces chocs finissent par établir une certaine distribution moyenne des vitesses, soit que l'on considère leur direction, soit que l'on envisage leur grandeur; cette distribution moyenne tend à se rétablir d'elle- même dès qu'elle est troublée; de sorte que, malgré la complication inextricable des mouvements, l'ob- servateur qui ne peut voir que des moyennes n'aperçoit que des lois très simples qui sont l'effet
168 »>EBNIÈRES PENSÉES
du itu des probabilités et des grands nombres. Il observe l'équilibre statistique. C'est ainsi par exemple que les vitesses seront également réparties dans toutes les directions, car si elles cessaient un instant de l'être, si elles tendaient à prendre une direction commune, les chocs au bout de très peu de temps la leur auraient fait perdre.
Le calcul conduit à une autre conséquence; la force vive que va prendre en moyenne chaque molé- cule est proportionnelle au nombre de ses degrés de liberté ; je m'explique ; un corps peut prendre un certain nombre de mouvements très petits, diffé- rents ; par exemple, un point matériel peut se mou- voir suivant les trois axes, il a trois degrés de liberté ; une sphère peut subir une translation parallèle à chacun des trois axes, ou encore une rotation autour de ces trois axes, elle a six degrés de liberté. Or, une molécule n'est pas un simple point matériel, elle est susceptible de déformation, elle aura donc plusieurs degrés de liberté ; par exemple une molécule d'argon en aura 3, une molé- cule d'oxygène en aura 5. Alors, d'après la loi que nous énonçons et que l'on appelle la loi d'équipar- tition, si dans l'équilibre statistique une molécule d'argon possède à une certaine température la force vive 3, une molécule d'oxygène devra posséder la force vive 5 ; en d'autres termes, les chaleurs spéci- fiques moléculaires à volume constant de l'argon et
l'hypothèse des quanta 169
de l'oxygène devront être entre elles comme 3 est à 5.
Et cette loi, convenablement interprétée, n'est pas seulement vraie des gaz; elle résulte en effet de la forme même que l'on a toujours attribuée aux équations de la Dynamique et qui est la forme de Hamilton. Si les lois générales de la Dynamique sont applicables aux liquides et aux solides ces corps doivent obéir à la loi d'équipartition, matatis mu- tandis.
Le principe de Carnot, ou second principe de la Thermodynamique, nous apprend que le monde tend vers un état final dont il ne pourra plus s'écarter; il nous apprend donc que l'équilibre sta- tistique est possible; s'il ne l'était pas, on pourrait toujours trouver quelque artifice permettant de réa- liser ce qu'on a appelé le mouvement perpétuel de seconde espèce, permettant par exemple de cbautTer une machine à vapeur avec de la glace, en profitani de ce que cette glace, quelque froide qu'elle soit, n'est pourtant pas au zéro absolu et contient, par conséquent, une certaine quantité de chaleur. Si les lois de l'équilibre statistique n'étaient pas les mêmes quand on met en présence les corps A et B, ou bien les corps Bet C, ou bien enfin les corps G et A, il serait aisé, en rapprochant tantôt deux de ces corps, tantôt deux autres, de changer sans cesse les conditions de cet équilibre ; ces corps ne cen- ts